Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 & 4 \\\\ -1 & -9 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 3 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com quatro equações e três incógnitas, representado pela matriz aumentada
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vrule & 1\\\\ 2 & -2 & 1 & \vrule & 4\\\\ -1 & -9 & 0 & \vrule & 2\\\\ -1 & 3 & 3 & \vrule & k \end{pmatrix}
e pede o valor de k que torne o sistema compatível. Vamos resolver as três primeiras equações para (x_1,x_2,x_3) e depois usar a quarta para determinar k.

Passo 2

Da primeira equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}=1
isolamos x_{3}:
x_{3}=1 - x_{1} - x_{2}.

Passo 3

Substituindo x_{3}=1 - x_{1} - x_{2} na segunda equação
2x_{1} - 2x_{2} + x_{3} = 4
ficamos com
2x_{1}-2x_{2}+ (1 - x_{1} - x_{2}) = 4
x_{1}-3x_{2} +1 =4
x_{1}-3x_{2}=3
x_{1}=3+3x_{2}.

Passo 4

Agora usamos a terceira equação
-\,x_{1}-9x_{2}=2.
Substituindo x_{1}=3+3x_{2}:
-(3+3x_{2})-9x_{2}=2
-3 -12x_{2}=2
-12x_{2}=5
x_{2}=-\tfrac{5}{12}.
Logo
x_{1}=3+3\Bigl(-\tfrac{5}{12}\Bigr)=3-\tfrac{15}{12}=3-\tfrac{5}{4}=\tfrac{7}{4}.

Passo 5

Retornando a x_{3}=1 - x_{1} - x_{2}, obtemos
x_{3}=1 - \tfrac{7}{4} + \tfrac{5}{12} =\tfrac{12}{12}-\tfrac{21}{12}+\tfrac{5}{12} =-\tfrac{4}{12} =-\tfrac{1}{3}.
Portanto a solução das três primeiras equações é
(x_{1},x_{2},x_{3})=\Bigl(\tfrac{7}{4},-\tfrac{5}{12},-\tfrac{1}{3}\Bigr).

Passo 6

Para que o sistema completo seja compatível, a quarta equação
-\,x_{1}+3x_{2}+3x_{3}=k
deve ser satisfeita por esses valores. Calculamos o lado esquerdo:
-\tfrac{7}{4}+3\Bigl(-\tfrac{5}{12}\Bigr)+3\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) =-\tfrac{7}{4}-\tfrac{15}{12}-1 =-\tfrac{7}{4}-\tfrac{5}{4}-1 =-3-1 =-4.
Logo k=-4.

Resposta

(H) -4

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