Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 3 x+2 y-5 z=7\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(1,-1,-\frac{6}{5}\right)+t(-18,0,-6)+s(0,17,4)
(B) \left(-1,1,-\frac{8}{5}\right)+t(-15,0,-9)+s(0,10,4)
(C) \left(-1,1,-\frac{18}{5}\right)+t(-15,0,-9)+s(0,10,4)
(D) \left(-1,1,-\frac{8}{5}\right)+t(-17,0,-7)+s(0,16,5)
(E) \left(-1,1,-\frac{18}{5}\right)+t(-18,0,-6)+s(0,17,4)
(F) \left(1,-1,-\frac{6}{5}\right)+t(-17,0,-7)+s(0,16,5)

Passo 1

O enunciado pede uma equação paramétrica do plano
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 3x+2y-5z=7\}
Para isso precisamos de um ponto P que satisfaça 3x+2y-5z=7 e de dois vetores diretores v,w tais que ambos sejam ortogonais ao vetor normal do plano.

Passo 2

O vetor normal ao plano é
n=(3,2,-5).
Um ponto P=(x_0,y_0,z_0) está no plano se
3x_0+2y_0-5z_0=7.
Um vetor v=(v_1,v_2,v_3) é diretor do plano se
n\cdot v=3v_1+2v_2-5v_3=0.

Passo 3

Testando a opção (A):
Ponto P=(1,-1,-\tfrac{6}{5}).
3\cdot1+2\cdot(-1)-5\cdot\bigl(-\tfrac{6}{5}\bigr)=3-2+6=7,
logo P está no plano.
Vetor v=(-18,0,-6):
n\cdot v=3\cdot(-18)+2\cdot0-5\cdot(-6)=-54+30=-24\neq0,
logo v não é diretor do plano. Descartamos (A).

Passo 4

Testando a opção (B):
Ponto P=(-1,1,-\tfrac{8}{5}).
3\cdot(-1)+2\cdot1-5\cdot\bigl(-\tfrac{8}{5}\bigr)=-3+2+8=7,
logo P está no plano.
Vetor v=(-15,0,-9):
n\cdot v=3\cdot(-15)+2\cdot0-5\cdot(-9)=-45+45=0.
Vetor w=(0,10,4):
n\cdot w=3\cdot0+2\cdot10-5\cdot4=20-20=0.
Ambos são diretores do plano e o ponto satisfaz a equação.

Resposta

(B)

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