Q3: Sabendo que o ponto ( -3,3,0, k ) pertence ao plano (1,3,-3,3)+\operatorname{span}\{(-2,2,-1,-1),(3,-1,-1,3)\}, assinale o valor de k :
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(H) 0

Passo 1

O enunciado diz que o ponto (-3,3,0,k) pertence ao plano definido parametricamente por
(x,y,z,w) = (1,3,-3,3) + u\,(-2,2,-1,-1) + v\,(3,-1,-1,3).
O conteúdo é representação paramétrica de plano em \mathbb{R}^4; vamos igualar coordenadas para encontrar u,v e depois k.

Passo 2

Para que (-3,3,0,k) esteja no plano, existem u,v tais que
\bigl(1-2u+3v,\;3+2u-v,\;-3-u-v,\;3-u+3v\bigr) = (-3,3,0,k).
Das primeiras três coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} 1 - 2u + 3v = -3,\\[6pt] 3 + 2u - v = 3,\\[6pt] -3 - u - v = 0. \end{cases}
Que simplifica para
\begin{cases} -2u + 3v = -4,\\\\ 2u - v = 0,\\\\ -u - v = 3. \end{cases}]

Passo 3

Da segunda equação 2u - v = 0 temos v = 2u. Substituindo em -u - v = 3
-u - 2u = 3 \quad\Longrightarrow\quad -3u = 3 \quad\Longrightarrow\quad u = -1,
logo v = 2(-1) = -2. Verificando na primeira equação: -2(-1) + 3(-2) = 2 - 6 = -4, OK.

Passo 4

Usando u=-1 e v=-2 na quarta coordenada temos
k = 3 - u + 3v = 3 - (-1) + 3(-2) = 3 + 1 - 6 = -2.

Resposta

-2

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