Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se trés pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x_{0}, y_{0}, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes trés pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-2,-1),(-5,-4) e (2,4). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado. Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando trés pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 45.1
(B) 46.1
(C) 47.1
(D) 48.1
(E) 49.1
(F) 50.1
(G) 51.1
(H) 52.1
Passo 1
O enunciado pede o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r do círculo que passa por três pontos dados. O conteúdo envolvido é geometria analítica de círculos: usamos a forma geral