Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se trés pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x_{0}, y_{0}, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes trés pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-2,-1),(-5,-4) e (2,4). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado. Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando trés pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 45.1
(B) 46.1
(C) 47.1
(D) 48.1
(E) 49.1
(F) 50.1
(G) 51.1
(H) 52.1

Passo 1

O enunciado pede o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r do círculo que passa por três pontos dados. O conteúdo envolvido é geometria analítica de círculos: usamos a forma geral
x^{2}+a\,x+y^{2}+b\,y=c
em que
a=-2x_{0},\quad b=-2y_{0},\quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Basta inserir os três pontos nessa equação para obter um sistema linear em a,b,c.

Passo 2

Aplicando a equação geral aos pontos (-2,-1), (-5,-4) e (2,4) obtemos:
\begin{cases} (-2)^{2}+a(-2)+(-1)^{2}+b(-1)=c,\\\ (-5)^{2}+a(-5)+(-4)^{2}+b(-4)=c,\\\ (2)^{2}+a(2)+(4)^{2}+b(4)=c. \end{cases}
Simplificando cada linha:
\begin{cases} 5 - 2a - b = c,\\\\ 41 - 5a - 4b = c,\\\\ 20 + 2a + 4b = c. \end{cases}

Passo 3

Eliminamos c subtraindo a primeira equação das outras duas:
\begin{aligned} (5 - 2a - b) - (41 - 5a - 4b)&=0\;\Longrightarrow\;a + b = 12,\\\ (5 - 2a - b) - (20 + 2a + 4b)&=0\;\Longrightarrow\;4a + 5b = -15. \end{aligned}

Passo 4

Resolvendo
\begin{cases} a + b = 12,\\\\ 4a + 5b = -15, \end{cases}
vemos que b=-63 e então a=75.

Passo 5

Para c usamos a primeira equação:
c = 5 - 2a - b = 5 - 150 + 63 = -82.
O centro é
(x_{0},y_{0}) = \bigl(-\tfrac{a}{2},-\tfrac{b}{2}\bigr) = \bigl(-37{,}5,\;31{,}5\bigr).

Passo 6

O raio satisfaz
r^{2} = x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+c = (37{,}5)^{2} + (31{,}5)^{2} - 82 = 2316{,}5,
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r = \sqrt{2316{,}5}\approx 48{,}13.

Resposta

D (48.1)

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