Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}8 x+2 y+3 z=7, \\\\ 40 x+10 y+15 z=35, \\\ y+4 z=5 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned} 32 x+8 y+12 z & =28, \\\\ 25 x+5 z & =45 .\end{aligned}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}4 x+y+7 z=2, \\\\ 2 x+8 y=4, \\\\ 8 x+32 y=16 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}40 x+10 y+15 z=35, \\\\ 4 y+16 z=20, \\\ z=9 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}-5 y-20 z=-25 \text {, } \\\\ 3 y+12 z=15 \text {. }\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}2 x+3 y+7 z=8, \\\\ 5 x+z=9, \\\\ -15 x-3 z=-27 .\end{array}\right.
(D) \quad\left\{\begin{aligned} 20 x+5 y+35 z & =10, \\\\ 8 x+32 y & =16 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned}-24 x-6 y-9 z & =-21, \\\\ -32 x-8 y-12 z & =-28 .\end{aligned}\right.
(E) \quad\left\{\begin{aligned} 8 x+2 y+3 z & =7, \\\ y+4 z & =5, \\\ z & =9 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned}-24 x-6 y-9 z & =-21, \\\\ -20 x-4 z & =-36 .\end{aligned}\right.
(F) \quad\left\{\begin{aligned} 40 x+10 y+15 z & =35, \\\\ 20 x+4 z & =36 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned}-6 x-9 y-21 z & =-24, \\\\ -8 x-12 y-28 z & =-32 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá, em cada opção, dois sistemas lineares em (x,y,z) e pede em qual opção ambos os conjuntos-soluação têm dimensão 1 em \mathbb{R}^3. Como em \mathbb{R}^3 a dimensão do conjunto-soluação é 3-\text{posto}, queremos que cada sistema seja consistente e tenha posto 2.

Passo 2

Opção (A):
Sistema 1:
\begin{cases} 8x+2y+3z=7,\\\\ 40x+10y+15z=35,\\\ y+4z=5. \end{cases}
A segunda equação é [5) vezes a primeira (e o termo independente também), logo só há duas equações independentes. A terceira equação é independente dessas, dando posto 2 e, portanto, dimensão 3-2=1.
Sistema 2:
\begin{cases} 32x+8y+12z=28,\\\\ 25x+5z=45. \end{cases}
As duas linhas do sistema não são múltiplos uma da outra, então o posto é 2\] e a dimensão da solução é \(1.

Passo 3

Opção (B), segundo sistema
\begin{cases} 40x+10y+15z=35,\\\\ 4y+16z=20,\\\ z=9, \end{cases}
fixa primeiro z, depois y e, por fim, x, resultando em solução única \dim=0, não linha.

Passo 4

Opção (C), primeiro sistema
\begin{cases} -5y-20z=-25,\\\\ 3y+12z=15, \end{cases}
as duas equações são múltiplas entre si, posto 1 e dimensão do espaço solução 2.

Passo 5

Opção (D), segundo sistema
\begin{cases} -24x-6y-9z=-21,\\\\ -32x-8y-12z=-28, \end{cases}
também as linhas são múltiplas, posto 1 e dimensão 2.

Passo 6

Opção (E), primeiro sistema
\begin{cases} 8x+2y+3z=7,\\\ y+4z=5,\\\ z=9, \end{cases}
torna-se solução única \dim=0.

Passo 7

Opção (F), segundo sistema
\begin{cases} -6x-9y-21z=-24,\\\\ -8x-12y-28z=-32, \end{cases}
as equações são dependentes, posto 1 e dimensão 2.

Passo 8

Das seis opções, apenas na (A) ambos os sistemas têm posto 2 e, consequentemente, conjuntos-solução linhas em \mathbb{R}^3.

Resposta

(A)

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