Q3: Sabendo que o ponto ( -1,-4,0, k ) pertence ao plano (3,2,-2,1)+\operatorname{span}\{(1,-2,2,3),(-3,-1,-1,1)\}, assinale o valor de k :
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
(F) 10
(G) 11
(H) 12

Passo 1

O enunciado diz que o ponto (-1,-4,0,k) está no plano que passa por
P_0 = (3,2,-2,1)
e é gerado pelos vetores
v_1 = (1,-2,2,3),\quad v_2 = (-3,-1,-1,1).
Logo, existe (a,b)\in\mathbb{R}^2 tal que
(-1,-4,0,k) = P_0 + a\,v_1 + b\,v_2.
Vamos montar o sistema e encontrar a, b e daí k.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, temos:
\begin{cases} 3 + a - 3b = -1,\\\\ 2 - 2a - b = -4,\\\\ -2 + 2a - b = 0,\\\\ 1 + 3a + b = k. \end{cases}
As três primeiras equações determinam a e b; a última dá k depois.

Passo 3

Da terceira equação
-2 + 2a - b = 0
segue
b = 2a - 2.
Substituindo em
3 + a - 3b = -1
temos
3 + a - 3(2a - 2) = -1
3 + a - 6a + 6 = -1
-5a +9 = -1
a = 2.

Passo 4

Com a=2 obtemos
b = 2\cdot2 - 2 = 2.
Verificamos rapidamente a segunda equação:
2 - 2a - b = 2 - 4 - 2 = -4,
ok.

Passo 5

Finalmente, da quarta equação
k = 1 + 3a + b = 1 + 3\cdot2 + 2 = 9.

Resposta

(E) 9

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