Q3: Sabendo que o ponto ( -1,-4,0, k ) pertence ao plano (3,2,-2,1)+\operatorname{span}\{(1,-2,2,3),(-3,-1,-1,1)\}, assinale o valor de k :
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
(F) 10
(G) 11
(H) 12
Passo 1
O enunciado diz que o ponto (-1,-4,0,k) está no plano que passa por
P_0 = (3,2,-2,1)
e é gerado pelos vetores
v_1 = (1,-2,2,3),\quad v_2 = (-3,-1,-1,1).
Logo, existe (a,b)\in\mathbb{R}^2 tal que
(-1,-4,0,k) = P_0 + a\,v_1 + b\,v_2.
Vamos montar o sistema e encontrar a, b e daí k.
Passo 2
Escrevendo coordenada a coordenada, temos:
\begin{cases} 3 + a - 3b = -1,\\\\ 2 - 2a - b = -4,\\\\ -2 + 2a - b = 0,\\\\ 1 + 3a + b = k. \end{cases}
As três primeiras equações determinam a e b; a última dá k depois.