Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-5 x-3 y+5 z=2\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(1,-1, \frac{14}{5}\right)+t(20,0,20)+s(0,15,9)
(B) (-1,1,0)+t(19,0,21)+s(0,12,4)
(C) \left(1,-1, \frac{14}{5}\right)+t(18,0,22)+s(0,13,3)
(D) (-1,1,0)+t(18,0,22)+s(0,13,3)
(E) \left(1,-1, \frac{4}{5}\right)+t(20,0,20)+s(0,15,9)
(F) \left(1,-1, \frac{4}{5}\right)+t(19,0,21)+s(0,12,4)

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica do plano
-5x - 3y + 5z = 2
ou seja, um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) que satisfaça essa equação e dois vetores diretores \mathbf v_1,\mathbf v_2 que pertençam ao plano. Para que um vetor \mathbf v esteja no plano cuja normal é \mathbf n, basta ter \mathbf n\cdot\mathbf v=0.

Passo 2

Extraímos a normal
\mathbf n = (-5,\,-3,\,5).
Um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) está no plano se
-5x_0 - 3y_0 + 5z_0 = 2.
E um vetor \mathbf v=(v_x,v_y,v_z) é diretor do plano se
\mathbf n\cdot\mathbf v = -5v_x -3v_y +5v_z = 0.

Passo 3

Testamos cada ponto-base das alternativas:
  • (A) (1,-1,14/5): -5\cdot1 -3\cdot(-1) +5\cdot(14/5) = -5+3+14 = 12\neq2. Elimina A.
  • (B) (-1,1,0): -5\cdot(-1)-3\cdot1+5\cdot0 =5-3=2. Ponto ok.
  • (C) (1,-1,14/5) já era mau. Elimina C.
  • (D) (-1,1,0) ok (mesmo que em B).
  • (E) (1,-1,4/5): -5+3+4=2. Ponto ok.
  • (F) (1,-1,4/5) idem.
Restam B, D, E e F.

Passo 4

Agora testamos as direções desses candidatos, exigindo \mathbf n\cdot\mathbf v_i=0:
  • (B) diretores (19,0,21) -5\cdot19+5\cdot21=10\neq0. Elimina B.
  • (D) (18,0,22) -90+110=20\neq0. Elimina D.
  • (F) tem o mesmo vetor ruim (19,0,21). Elimina F.
  • (E) diretores (20,0,20) e (0,15,9):
    -5\cdot20+5\cdot20=0 e -3\cdot15+5\cdot9= -45+45=0. Ambos estão no plano.

Resposta

(E) \displaystyle (1,-1,\tfrac{4}{5})+t\,(20,0,20)+s\,(0,15,9)

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