Dados A=(-2,3), B=(2,0), C=(0,-5) e D=(-4,-2), verifique que os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{D C} são iguais. Os pontos A, B, C e D são vértices de um paralelogramo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(-2,3), B=(2,0), C=(0,-5) e D=(-4,-2) e pede para verificar que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} e, a partir disso, decidir se A,B,C,D formam um paralelogramo. Vamos usar operações de vetores no plano e o critério de que um quadrilátero é paralelogramo se seus dois pares de lados opostos são iguais (vetorialmente).

Passo 2

Calculamos o vetor \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-(-2),\,0-3)=(4,\,-3).

Passo 3

Calculamos o vetor \overrightarrow{DC}:
\overrightarrow{DC}=C-D=(0-(-4),\,-5-(-2))=(4,\,-3).

Passo 4

Como
\overrightarrow{AB}=(4,-3) \quad\text{e}\quad \overrightarrow{DC}=(4,-3),
segue que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.

Passo 5

Para confirmar o paralelogramo, comparamos também \overrightarrow{BC} e \overrightarrow{AD}.
\overrightarrow{BC}=C-B=(0-2,\,-5-0)=(-2,\,-5),
\overrightarrow{AD}=D-A=(-4-(-2),\,-2-3)=(-2,\,-5).

Passo 6

Como \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}, os dois pares de lados opostos são iguais e paralelos. Portanto, A,B,C,D são vértices de um paralelogramo.

Resposta

Sim. Os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{DC} coincidem e também \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}, logo o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.

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