Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}6 x+8 y+7 z=2, \\\\ 2 x+y=6, \\\\ -6 x-3 y=-18 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}3 x+6 y+27 z=21, \\\\ -24 y-18 z=-12, \\\ z=5 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}x+2 y+9 z=7, \\\\ 3 x+6 y+27 z=21, \\\\ 8 y+6 z=4 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-3 x-6 y-27 z & =-21, \\\\ 12 x+24 z & =15 .\end{aligned}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}3 x+6 y+27 z=21, \\\\ -12 x-24 z=-15 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-8 x-36 y-28 z=-4, \\\\ 10 x+45 y+35 z=5 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{aligned} x+2 y+9 z & =7, \\\\ 8 y+6 z & =4, \\\ z & =5 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}-4 x-8 y-36 z=-28, \\\\ 20 x+40 z=25 .\end{array}\right.
(E) \quad\left\{\begin{array}{r}18 x+24 y+21 z=6, \\\\ -6 x-3 y=-18 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-4 x-8 y-36 z & =-28, \\\\ 5 x+10 y+45 z & =35 .\end{aligned}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}-40 y-30 z=-20, \\\\ 32 y+24 z=16 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}2 x+9 y+7 z=1, \\\\ 4 x+8 z=5, \\\\ -16 x-32 z=-20 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta, em cada letra de (A) a (F), dois sistemas lineares nas variáveis x,y,z. Queremos a opção em que ambos os conjuntos–solução sejam retas em \mathbb{R}^3, isto é, tenham dimensão igual a 1.
O conteúdo é posto (rank) de um sistema linear: se um sistema tem n variáveis e posto igual a r, então
\dim(\text{solução}) = n - r.çã
Para obter uma reta em \mathbb{R}^3 (dimensão 1) precisamos de n=3 e r=2, com sistema consistente.
Passo 2
Portanto, em cada sistema contamos o número efetivo de equações independentes (posto r). Se r=2 e o sistema for compatível, o espaço solução tem dimensão
As duas equações são independentes (r=2) e compatíveis ⇒ reta.
Logo em (B) ambos têm dimensão 1.
Passo 5
Verificação rápida das demais:
(C) o segundo sistema tem só 1 equação independente (r=1) ⇒ plano.
(D) o primeiro sistema tem r=3 ⇒ ponto.
(E) o segundo sistema tem r=1 ⇒ plano.
(F) o primeiro sistema tem r=1 ⇒ plano.