O enunciado pede a descrição do conjunto \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4}\mid5x_{2}+x_{3}=7\}
como um ponto particular p mais a span de três vetores v_{1},v_{2},v_{3}. Para isso, precisamos encontrar
uma solução particular p que satisfaça \,5p_{2}+p_{3}=7,
uma base do núcleo da aplicação linear A(x)=5x_{2}+x_{3}, i.e.\ o espaço \{x\mid5x_{2}+x_{3}=0\} de dimensão 3.
Passo 2
Caracterizamos o núcleo resolvendo
5x_{2}+x_{3}=0\implies x_{3}=-5x_{2}.
Tomando parâmetros livres t=x_{1}, s=x_{2}, r=x_{4}, qualquer vetor do núcleo é
Logo uma base para o núcleo é (1,0,0,0),\;(0,1,-5,0),\;(0,0,0,1).
Passo 3
Agora examinamos cada alternativa, verificando:
se o ponto p satisfaz 5p_{2}+p_{3}=7,
se cada vetor v_{i} satisfaz 5v_{i,2}+v_{i,3}=0.
(A) \;p=(-1,3,17,2) falha pois 5\cdot3+17=32\neq7.
(B) \;p=(-2,-3,22,-1) satisfaz -15+22=7, mas v_{2}=(0,6,0,0) dá 5\cdot6+0=30\neq0.
(C) mesmo p=(-2,-3,22,-1) ok, porém v_{2}=(0,0,2,0) dá 5\cdot0+2=2\neq0.
(D) ponto p não satisfaz a equação.
(E) \;p=(1,3,-8,-3) satisfaz 5\cdot3+(-8)=7, e
dão em cada caso 5v_{i,2}+v_{i,3}=0 e são linearmente independentes.
(F) ou (G) algum v_{i} falha em 5v_{i,2}+v_{i,3}=0.
(H) v_{1}=(0,-5,1,0) falha pois 5\cdot(-5)+1=-24\neq0.
Portanto somente a alternativa (E) satisfaz ambas as condições.