Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & -1 & -2 & 2 \\\\ 2 & 0 & -3 & 3 \\\\ -1 & 3 & 1 & -1 \\\\ -2 & 0 & -1 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com quatro equações e três incógnitas, representado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & -2 & 2\\\\ 2 & 0 & -3 & 3\\\\ -1 & 3 & 1 & -1\\\\ -2 & 0 & -1 & k \end{array}\right].
Queremos determinar o valor de k que torna o sistema consistente, ou seja, sem gerar uma linha da forma 0 = \text{constante não nula}ã.

Passo 2

Usamos R_{1} como pivô para zerar a coluna 1 nas linhas 2, 3 e 4:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}\implies (0,2,1\mid -1),
R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}\implies (0,2,-1\mid 1),
R_{4}\leftarrow R_{4}+2R_{1}\implies (0,-2,-5\mid k+4).

Passo 3

Agora usamos R_{2} para zerar a coluna 2 em R_{3} e R_{4}:
R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}\implies (0,0,-2\mid 2),
R_{4}\leftarrow R_{4}+R_{2}\implies (0,0,-4\mid k+3).

Passo 4

Por fim, usamos R_{3} para zerar a coluna 3 em R_{4}:
R_{4}\leftarrow R_{4}-2R_{3}\implies (0,0,0\mid k-1).
Isso corresponde à equação
0 = k - 1.

Passo 5

Para que não haja contradição, precisamos
k - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 1.

Resposta

(F) 1

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