Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}5 x+9 y+8 z=7, \\\ x+7 y=9, \\\\ -5 x-35 y=-45 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}21 x+3 y+18 z=24, \\\\ -25 x-45 z=-10, \\\ z=3 .\end{array}\right.
(B) \quad\left\{\begin{array}{r}21 x+3 y+18 z=24, \\\\ -10 y-25 z=-15 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}24 x+28 y+32 z=4, \\\\ -18 x-21 y-24 z=-3 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}25 x+45 z=10, \\\\ -20 x-36 z=-8 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}6 x+7 y+8 z=1, \\\\ 2 y+5 z=3, \\\\ 8 y+20 z=12 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}7 x+y+6 z=8, \\\\ 21 x+3 y+18 z=24, \\\\ 5 x+9 z=2 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}-35 x-5 y-30 z=-40, \\\\ 6 y+15 z=9 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{aligned} 7 x+y+6 z & =8, \\\\ 5 x+9 z & =2, \\\ z & =3 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{array}{r}28 x+4 y+24 z=32, \\\\ -6 y-15 z=-9 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}15 x+27 y+24 z=21, \\\\ -5 x-35 y=-45 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}28 x+4 y+24 z=32, \\\\ -21 x-3 y-18 z=-24 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta seis opções (A) a (F). Em cada opção há dois sistemas lineares nas variáveis x,y,z. A pergunta é: em qual opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 (ou seja, são retas em \mathbb{R}^{3})?
Informações relevantes dadas:
  • Temos sempre 3 variáveis: x,y,z.
  • Cada opção tem dois sistemas diferentes (podem ter 1, 2 ou 3 equações cada).
  • Queremos que, para os dois sistemas de uma mesma opção, o conjunto solução seja uma reta (dimensão 1).
  • Não há imagens nem outros dados ocultos.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática e necessária para a prova):
  • Para um sistema linear com n variáveis (aqui n=3), se o sistema for consistente então a dimensão do conjunto solução é
\dim(\text{solução}) = n - \operatorname{rank}(A),çã
onde A é a matriz de coeficientes e \operatorname{rank}(A) é o posto (número de equações independentes linearmente).
  • Para obter dimensão 1 em \mathbb{R}^{3} precisamos que o posto da matriz de coeficientes seja 2 e o sistema seja consistente (ou seja, posto da matriz aumentada igual ao posto da coeficientes).
  • Como regra prática: se o conjunto de equações reduz-se a exatamente duas equações independentes entre x,y,z e não há contradição, então o conjunto solução será uma reta (parâmetro livre = 1).
  • Vou, para cada sistema, verificar dependências lineares entre as equações (se alguma é múltipla de outra) e verificar consistência substituindo quando houver equações que fixem alguma variável.

Passo 3

Sistema A1:
\begin{cases} 5x+9y+8z=7,\\[4pt] x+7y=9,\\[4pt] -5x-35y=-45. \end{cases}
Observação: a terceira equação é -5 vezes a segunda, pois -5(x+7y)= -5x-35y e -5\cdot 9 = -45. Logo a terceira é dependente da segunda. Restam duas equações independentes (a segunda e a primeira, que não são múltiplas uma da outra). Para ver consistência e obter forma explícita: da segunda,
x = 9-7y.
Substitui em 5x+9y+8z=7:
5(9-7y)+9y+8z=7 \Rightarrow 45-35y+9y+8z=7 \Rightarrow -26y+8z=-38.
Isto é uma equação linear entre y e z, solução paramétrica: tomar z=t livre, y=\dfrac{4t+19}{13}, e x=9-7y. O sistema é consistente e tem exatamente duas equações independentes, logo \dim(\text{solução})=3-2=1çã. Conclusão: o primeiro sistema da opção (A) tem dimensão 1.]

Passo 4

Sistema A2:
\begin{cases} 21x+3y+18z=24,\\[4pt] -25x-45z=-10,\\[4pt] z=3. \end{cases}
A terceira equação fixa z=3. Substituindo em -25x-45z=-10:
-25x-45\cdot 3=-10 \Rightarrow -25x-135=-10 \Rightarrow -25x=125 \Rightarrow x=-5.
Substituir x=-5 e z=3 na primeira:
21(-5)+3y+18(3)=24 \Rightarrow -105+3y+54=24 \Rightarrow 3y=75 \Rightarrow y=25.
Resultado: solução única (x,y,z)=(-5,25,3). Dimensão 0, não 1. Logo a opção (A) falha porque o segundo sistema não tem dimensão 1.]

Passo 5

Sistema B1:
\begin{cases} 21x+3y+18z=24,\\[4pt] -10y-25z=-15. \end{cases}
Duas equações em três incógnitas; elas não são múltiplas entre si (a segunda não envolve x). Isso normalmente indica posto 2 e consistência típica. Podemos resolver parametricamente: da segunda,
-10y-25z=-15 \Rightarrow 2y+5z=3 \Rightarrow y=\dfrac{3-5z}{2}.
Substitui na primeira:
21x+3\cdot \frac{3-5z}{2}+18z=24.
Multiplicando por 2:
42x+9-15z+36z=48 \Rightarrow 42x+21z=39 \Rightarrow 2x+z=\frac{13}{7}.
Portanto z livre, x=\dfrac{13}{14}-\dfrac{z}{2}, y determinado. Sistema consistente com posto 2, então dimensão 1. B1 tem dimensão 1.]

Passo 6

Sistema B2:
\begin{cases} 24x+28y+32z=4,\\[4pt] -18x-21y-24z=-3. \end{cases}
Observe os vetores de coeficientes das duas equações: (24,28,32) e (-18,-21,-24). Esses vetores são proporcionais? Calcule razão das componentes: -18/24=-3/4, -21/28=-3/4, -24/32=-3/4. Logo os vetores de coeficientes são múltiplos: a segunda linha é -\tfrac{3}{4} da primeira linha. Mas verifique o termo independente: 4 multiplicado por -\tfrac{3}{4} -3, que é exatamente o segundo termo do lado direito. Ah! Isso significa que as duas equações são múltiplas EXATAS (não há contradição): a segunda é -\tfrac{3}{4} da primeira incluindo o lado direito. Assim na verdade há apenas uma equação independente (posto 1), não 2. Com posto 1 o espaço solução tem dimensão 3-1=2 (um plano), e não 1. Portanto B2 tem dimensão 2, e a opção (B) falha.]

Passo 7

Sistema C1:
\begin{cases} 25x+45z=10,\\[4pt] -20x-36z=-8. \end{cases}
Note os coeficientes: -20 é -\tfrac{4}{5}\cdot 25 e -36 é -\tfrac{4}{5}\cdot 45; e -8 é -\tfrac{4}{5}\cdot 10. Assim a segunda equação é múltipla da primeira (dependência total). Portanto posto 1. Sistema consistente (uma equação efetiva), então a solução é um plano de dimensão 2, não uma reta. Logo C1 não tem dimensão 1 e a opção (C) falha.]

Passo 8

Sistema C2:
\begin{cases} 6x+7y+8z=1,\\[4pt] 2y+5z=3,\\[4pt] 8y+20z=12. \end{cases}
Aqui podemos ver que a terceira equação é 4 vezes a segunda? 4(2y+5z)=8y+20z e 4\cdot 3=12. Então a terceira é dependente da segunda; temos duas equações efetivas (a primeira e a segunda), posto 2 e solução de dimensão 1. Mas já ficou claro que C1 dava dimensão 2, então C não atende o requisito de ambos sistemas terem dimensão 1.]

Passo 9

Sistema D1:
\begin{cases} 7x+y+6z=8,\\[4pt] 21x+3y+18z=24,\\[4pt] 5x+9z=2. \end{cases}
Observação imediata: a segunda equação é 3 vezes a primeira (pois 3(7x+y+6z)=21x+3y+18z e 3\cdot 8=24), então é dependente. Restam duas equações independentes: 7x+y+6z=8 e 5x+9z=2. Essas duas são claramente independentes (uma envolve y com coeficiente 1, a outra não envolve y). Assim o posto é 2. O sistema é consistente (não há contradição direta), então a solução tem dimensão 3-2=1. Conclusão: D1 tem dimensão 1.]

Passo 10

Sistema D2:
\begin{cases} -35x-5y-30z=-40,\\[4pt] 6y+15z=9. \end{cases}
Duas equações em três incógnitas; não são múltiplas, então provavelmente posto 2. Vamos verificar consistência explicitamente e encontrar forma paramétrica: da segunda,
6y+15z=9 \Rightarrow 2y+5z=3 \Rightarrow y=\dfrac{3-5z}{2}.
Substitui na primeira:
-35x-5\left(\dfrac{3-5z}{2}\right)-30z=-40.
Multiplicando por 2:
-70x-5(3-5z)-60z=-80 \Rightarrow -70x-15+25z-60z=-80 \Rightarrow -70x-35z=-65.
Multiplicando por -1 e dividindo por 35:
2x+z=\dfrac{65}{35}=\dfrac{13}{7}.
Isto dá x=\dfrac{13}{14}-\dfrac{z}{2} e y=\dfrac{3-5z}{2}, com z livre. Portanto o sistema é consistente e tem posto 2, logo dimensão 1. Conclusão: D2 tem dimensão 1.]

Passo 11

Resumindo as dimensões encontradas:
  • (A): primeiro sistema dimensão 1, segundo dimensão 0 → não serve.
  • (B): primeiro 1, segundo 2 (ou inconsistente se interpretado errado) → não serve.
  • (C): primeiro 2, segundo 1 → não serve.
  • (D): primeiro 1, segundo 1 → atende ao pedido.
  • (E): primeiro 0 (única solução com z=3), o outro não conferido porque já falha → não serve.
  • (F): primeiro 1, segundo 2 → não serve.
Portanto apenas a opção (D) tem ambos os sistemas com conjuntos-solução de dimensão 1.

Resposta

(D)

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