Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}5 x+9 y+8 z=7, \\\ x+7 y=9, \\\\ -5 x-35 y=-45 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}21 x+3 y+18 z=24, \\\\ -25 x-45 z=-10, \\\ z=3 .\end{array}\right.
(B) \quad\left\{\begin{array}{r}21 x+3 y+18 z=24, \\\\ -10 y-25 z=-15 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}24 x+28 y+32 z=4, \\\\ -18 x-21 y-24 z=-3 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}25 x+45 z=10, \\\\ -20 x-36 z=-8 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}6 x+7 y+8 z=1, \\\\ 2 y+5 z=3, \\\\ 8 y+20 z=12 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}7 x+y+6 z=8, \\\\ 21 x+3 y+18 z=24, \\\\ 5 x+9 z=2 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-35 x-5 y-30 z=-40, \\\\ 6 y+15 z=9 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{aligned} 7 x+y+6 z & =8, \\\\ 5 x+9 z & =2, \\\ z & =3 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}28 x+4 y+24 z=32, \\\\ -6 y-15 z=-9 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}15 x+27 y+24 z=21, \\\\ -5 x-35 y=-45 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}28 x+4 y+24 z=32, \\\\ -21 x-3 y-18 z=-24 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta seis opções (A) a (F). Em cada opção há dois sistemas lineares nas variáveis x,y,z. A pergunta é: em qual opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 (ou seja, são retas em \mathbb{R}^{3})?
Informações relevantes dadas:
Temos sempre 3 variáveis: x,y,z.
Cada opção tem dois sistemas diferentes (podem ter 1, 2 ou 3 equações cada).
Queremos que, para os dois sistemas de uma mesma opção, o conjunto solução seja uma reta (dimensão 1).
Não há imagens nem outros dados ocultos.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática e necessária para a prova):
Para um sistema linear com n variáveis (aqui n=3), se o sistema for consistente então a dimensão do conjunto solução é
\dim(\text{solução}) = n - \operatorname{rank}(A),çã
onde A é a matriz de coeficientes e \operatorname{rank}(A) é o posto (número de equações independentes linearmente).
Para obter dimensão 1 em \mathbb{R}^{3} precisamos que o posto da matriz de coeficientes seja 2 e o sistema seja consistente (ou seja, posto da matriz aumentada igual ao posto da coeficientes).
Como regra prática: se o conjunto de equações reduz-se a exatamente duas equações independentes entre x,y,z e não há contradição, então o conjunto solução será uma reta (parâmetro livre = 1).
Vou, para cada sistema, verificar dependências lineares entre as equações (se alguma é múltipla de outra) e verificar consistência substituindo quando houver equações que fixem alguma variável.
Observação: a terceira equação é -5 vezes a segunda, pois -5(x+7y)= -5x-35y e -5\cdot 9 = -45. Logo a terceira é dependente da segunda. Restam duas equações independentes (a segunda e a primeira, que não são múltiplas uma da outra). Para ver consistência e obter forma explícita: da segunda,
Isto é uma equação linear entre y e z, solução paramétrica: tomar z=t livre, y=\dfrac{4t+19}{13}, e x=9-7y. O sistema é consistente e tem exatamente duas equações independentes, logo \dim(\text{solução})=3-2=1çã. Conclusão: o primeiro sistema da opção (A) tem dimensão 1.]
Duas equações em três incógnitas; elas não são múltiplas entre si (a segunda não envolve x). Isso normalmente indica posto 2 e consistência típica. Podemos resolver parametricamente: da segunda,
Observe os vetores de coeficientes das duas equações: (24,28,32) e (-18,-21,-24). Esses vetores são proporcionais? Calcule razão das componentes: -18/24=-3/4, -21/28=-3/4, -24/32=-3/4. Logo os vetores de coeficientes são múltiplos: a segunda linha é -\tfrac{3}{4} da primeira linha. Mas verifique o termo independente: 4 multiplicado por -\tfrac{3}{4} dá -3, que é exatamente o segundo termo do lado direito. Ah! Isso significa que as duas equações são múltiplas EXATAS (não há contradição): a segunda é -\tfrac{3}{4} da primeira incluindo o lado direito. Assim na verdade há apenas uma equação independente (posto 1), não 2. Com posto 1 o espaço solução tem dimensão 3-1=2 (um plano), e não 1. Portanto B2 tem dimensão 2, e a opção (B) falha.]
Note os coeficientes: -20 é -\tfrac{4}{5}\cdot 25 e -36 é -\tfrac{4}{5}\cdot 45; e -8 é -\tfrac{4}{5}\cdot 10. Assim a segunda equação é múltipla da primeira (dependência total). Portanto posto 1. Sistema consistente (uma equação efetiva), então a solução é um plano de dimensão 2, não uma reta. Logo C1 não tem dimensão 1 e a opção (C) falha.]
Aqui podemos ver que a terceira equação é 4 vezes a segunda? 4(2y+5z)=8y+20z e 4\cdot 3=12. Então a terceira é dependente da segunda; temos duas equações efetivas (a primeira e a segunda), posto 2 e solução de dimensão 1. Mas já ficou claro que C1 dava dimensão 2, então C não atende o requisito de ambos sistemas terem dimensão 1.]
Observação imediata: a segunda equação é 3 vezes a primeira (pois 3(7x+y+6z)=21x+3y+18z e 3\cdot 8=24), então é dependente. Restam duas equações independentes: 7x+y+6z=8 e 5x+9z=2. Essas duas são claramente independentes (uma envolve y com coeficiente 1, a outra não envolve y). Assim o posto é 2. O sistema é consistente (não há contradição direta), então a solução tem dimensão 3-2=1. Conclusão: D1 tem dimensão 1.]
Duas equações em três incógnitas; não são múltiplas, então provavelmente posto 2. Vamos verificar consistência explicitamente e encontrar forma paramétrica: da segunda,
Isto dá x=\dfrac{13}{14}-\dfrac{z}{2} e y=\dfrac{3-5z}{2}, com z livre. Portanto o sistema é consistente e tem posto 2, logo dimensão 1. Conclusão: D2 tem dimensão 1.]
Passo 11
Resumindo as dimensões encontradas:
(A): primeiro sistema dimensão 1, segundo dimensão 0 → não serve.
(B): primeiro 1, segundo 2 (ou inconsistente se interpretado errado) → não serve.
(C): primeiro 2, segundo 1 → não serve.
(D): primeiro 1, segundo 1 → atende ao pedido.
(E): primeiro 0 (única solução com z=3), o outro não conferido porque já falha → não serve.
(F): primeiro 1, segundo 2 → não serve.
Portanto apenas a opção (D) tem ambos os sistemas com conjuntos-solução de dimensão 1.