Q4: O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que x_{2}+3 x_{4}=5 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 14 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -3 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ 11 \\\\ -3 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 14 \\\\ 3 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 6 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ 11 \\\\ -3 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -6 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das representações (A)–(H) é igual ao conjunto dos \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
x_{2}+3x_{4}=5.
Cada alternativa dá um ponto (vetor) particular mais o span de três vetores. A tarefa é decidir qual dessas afirmações descreve exatamente o conjunto solução.

Passo 2

Uma ideia importante para entender o que procurar (aqui explico a teoria passo a passo, bem devagar):
  • O conjunto \{x\in\mathbb{R}^4 \mid x_{2}+3x_{4}=5\} é uma hipersuperfície afim: é uma translação de um subespaço linear. Ou seja, existe um vetor particular p tal que
\{x\mid x_{2}+3x_{4}=5\}=p+\{v\in\mathbb{R}^4\mid v_{2}+3v_{4}=0\}.
  • A parte \{v\mid v_{2}+3v_{4}=0\} é o espaço homogêneo associado (soluções da equação linear com lado direito zero). Esse espaço homogêneo tem dimensão 3 porque é um único equação linear em \mathbb{R}^4.
  • Para que uma alternativa esteja correta é necessário e suficiente que:
    1. O vetor escolhido como ponto particular satisfaça a equação original: p_{2}+3p_{4}=5.
    2. Cada vetor gerador do \operatorname{span} satisfaça a condição homogênea: para cada gerador g devemos ter g_{2}+3g_{4}=0.
    3. Os três geradores gerem todo o espaço homogêneo (isto acontece automaticamente se forem três vetores linearmente independentes que satisfazem a condição homogênea, já que esse espaço tem dimensão 3).
Vou aplicar esses testes a cada alternativa.

Passo 3

Teste da alternativa (A).
  • Vetor particular p=\begin{bmatrix}-1\\\ 14\\\ 3\\\ 2\end{bmatrix}. Calcular p_{2}+3p_{4}:
14+3\cdot 2 = 14+6 = 20 \neq 5.
Portanto (A) está errada (o ponto particular não satisfaz a equação).

Passo 4

Teste da alternativa (B).
  • Vetor particular p=\begin{bmatrix}3\\\ 11\\\ -3\\\ -2\end{bmatrix}. Calcular:
11+3\cdot(-2)=11-6=5,
logo o ponto particular está OK.
  • Agora os geradores: g_{1}=\begin{bmatrix}-3\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}, g_{2}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 7\end{bmatrix}, g_{3}=\begin{bmatrix}0\\\ -2\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}.
    • Para g_{1}: 0+3\cdot 0 = 0 OK.
    • Para g_{2}: 0+3\cdot 7 = 21 \neq 0. Já basta para concluir que (B) está errada porque g_{2} não pertence ao espaço homogêneo.

Passo 5

Teste da alternativa (C).
  • Vetor particular p=\begin{bmatrix}-2\\\ -1\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix}. Calcular:
-1+3\cdot 2 = -1+6=5,
portanto o ponto particular satisfaz a equação (bom sinal).
  • Geradores:
    g_{1}=\begin{bmatrix}0\\\ -3\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}, g_{2}=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ -5\\\ 0\end{bmatrix}, g_{3}=\begin{bmatrix}5\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}.
    • Para g_{1}: -3+3\cdot 1 = -3+3 = 0.
    • Para g_{2}: 0+3\cdot 0 = 0.
    • Para g_{3}: 0+3\cdot 0 = 0.
      Todos os três geradores pertencem ao espaço homogêneo.
  • Agora verificar que os três geradores realmente formam uma base do espaço homogêneo (isto é, são linearmente independentes), pois precisamos gerar todo o espaço de dimensão 3.
    Suponha a\,g_{1}+b\,g_{2}+c\,g_{3}=0.Escrevendo coordenada a coordenada:
    • coordenada 1: 0\cdot a + 0\cdot b + 5\cdot c = 5c = 0 \Rightarrow c=0.
    • coordenada 3: 0\cdot a + (-5)\cdot b + 0\cdot c = -5b = 0 \Rightarrow b=0.
    • coordenadas 2 e 4 agora dão -3a=0 e 1\cdot a=0 (ou seja a também deve ser zero). Concluímos a=b=c=0.
      Logo os três vetores são linearmente independentes e, como pertencem ao espaço homogêneo de dimensão 3, eles geram todo esse espaço.
  • Conclusão: (C) satisfaz todas as condições — o ponto particular está na hipersuperfície, os geradores pertencem ao espaço homogêneo e são três independentes. Portanto (C) descreve exatamente o conjunto pedido.

Passo 6

Para segurança, verifico rapidamente as demais alternativas restantes (D)–(H) apenas nos pontos críticos:
  • (D) tem o mesmo ponto particular que (A), isto é p=\begin{bmatrix}-1\\\ 14\\\ 3\\\ 2\end{bmatrix}, e já vimos que 14+3\cdot 2=20\neq5. Logo (D) é falsa.
  • (E): ponto particular p=\begin{bmatrix}3\\\ 11\\\ -3\\\ -2\end{bmatrix} satisfaz a equação ( 11+3(-2)=5). Os geradores são \begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -3\\\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 3\end{bmatrix}. Para o segundo gerador temos 2+3\cdot 0=2\neq 0, logo (E) falha.
  • (F): ponto particular p=\begin{bmatrix}-3\\\ 2\\\ -2\\\ 1\end{bmatrix} satisfaz ( 2+3\cdot1=5). Porém o gerador \begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix} 1+3\cdot 0=1\neq0. Logo (F) falha.
  • (G): ponto particular p=\begin{bmatrix}-2\\\ -1\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix} satisfaz ( -1+6=5), mas o gerador \begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -3\end{bmatrix} tem 1+3(-3)=1-9=-8\neq0. Logo (G) falha.
  • (H): ponto particular p=\begin{bmatrix}-3\\\ 2\\\ -2\\\ 1\end{bmatrix} satisfa z ( 2+3=5), mas o gerador \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 4\end{bmatrix} 0+3\cdot 4=12\neq0. Logo (H) falha.

Passo 7

Só a alternativa (C) passou todos os testes: ponto particular correto, geradores pertencendo ao subespaço homogêneo e geradores linearmente independentes (logo geram todo o espaço homogêneo de dimensão 3). Portanto a representação correta é a alternativa (C).

Resposta

(C)

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