O enunciado pede: identificar qual das representações (A)–(H) é igual ao conjunto dos \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
x_{2}+3x_{4}=5.
Cada alternativa dá um ponto (vetor) particular mais o span de três vetores. A tarefa é decidir qual dessas afirmações descreve exatamente o conjunto solução.
Passo 2
Uma ideia importante para entender o que procurar (aqui explico a teoria passo a passo, bem devagar):
O conjunto \{x\in\mathbb{R}^4 \mid x_{2}+3x_{4}=5\} é uma hipersuperfície afim: é uma translação de um subespaço linear. Ou seja, existe um vetor particular p tal que
A parte \{v\mid v_{2}+3v_{4}=0\} é o espaço homogêneo associado (soluções da equação linear com lado direito zero). Esse espaço homogêneo tem dimensão 3 porque é um único equação linear em \mathbb{R}^4.
Para que uma alternativa esteja correta é necessário e suficiente que:
O vetor escolhido como ponto particular satisfaça a equação original: p_{2}+3p_{4}=5.
Cada vetor gerador do \operatorname{span} satisfaça a condição homogênea: para cada gerador g devemos ter g_{2}+3g_{4}=0.
Os três geradores gerem todo o espaço homogêneo (isto acontece automaticamente se forem três vetores linearmente independentes que satisfazem a condição homogênea, já que esse espaço tem dimensão 3).
Para g_{3}: 0+3\cdot 0 = 0.
Todos os três geradores pertencem ao espaço homogêneo.
Agora verificar que os três geradores realmente formam uma base do espaço homogêneo (isto é, são linearmente independentes), pois precisamos gerar todo o espaço de dimensão 3.
Suponhaa\,g_{1}+b\,g_{2}+c\,g_{3}=0.Escrevendo coordenada a coordenada:
coordenada 1: 0\cdot a + 0\cdot b + 5\cdot c = 5c = 0 \Rightarrow c=0.
coordenada 3: 0\cdot a + (-5)\cdot b + 0\cdot c = -5b = 0 \Rightarrow b=0.
coordenadas 2 e 4 agora dão -3a=0 e 1\cdot a=0 (ou seja a também deve ser zero). Concluímos a=b=c=0.
Logo os três vetores são linearmente independentes e, como pertencem ao espaço homogêneo de dimensão 3, eles geram todo esse espaço.
Conclusão: (C) satisfaz todas as condições — o ponto particular está na hipersuperfície, os geradores pertencem ao espaço homogêneo e são três independentes. Portanto (C) descreve exatamente o conjunto pedido.
Passo 6
Para segurança, verifico rapidamente as demais alternativas restantes (D)–(H) apenas nos pontos críticos:
(D) tem o mesmo ponto particular que (A), isto é p=\begin{bmatrix}-1\\\ 14\\\ 3\\\ 2\end{bmatrix}, e já vimos que 14+3\cdot 2=20\neq5. Logo (D) é falsa.
(E): ponto particular p=\begin{bmatrix}3\\\ 11\\\ -3\\\ -2\end{bmatrix} satisfaz a equação (11+3(-2)=5). Os geradores são \begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ -3\\\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 3\end{bmatrix}. Para o segundo gerador temos 2+3\cdot 0=2\neq 0, logo (E) falha.
(F): ponto particular p=\begin{bmatrix}-3\\\ 2\\\ -2\\\ 1\end{bmatrix} satisfaz (2+3\cdot1=5). Porém o gerador \begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix} dá 1+3\cdot 0=1\neq0. Logo (F) falha.
(G): ponto particular p=\begin{bmatrix}-2\\\ -1\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix} satisfaz (-1+6=5), mas o gerador \begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ -3\end{bmatrix} tem 1+3(-3)=1-9=-8\neq0. Logo (G) falha.
(H): ponto particular p=\begin{bmatrix}-3\\\ 2\\\ -2\\\ 1\end{bmatrix} satisfa z (2+3=5), mas o gerador \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 4\end{bmatrix} dá 0+3\cdot 4=12\neq0. Logo (H) falha.
Passo 7
Só a alternativa (C) passou todos os testes: ponto particular correto, geradores pertencendo ao subespaço homogêneo e geradores linearmente independentes (logo geram todo o espaço homogêneo de dimensão 3). Portanto a representação correta é a alternativa (C).