Q3: Sabendo que o ponto ( -2,1,2, k ) pertence ao plano (3,1,-1,2)+\operatorname{span}\{(2,-2,-1,3),(-3,-2,2,2)\}, assinale o valor de k :
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado dá um ponto (-2,1,2,k) e um plano escrito na forma ponto mais combinação linear:
(3,1,-1,2)+\operatorname{span}\{(2,-2,-1,3),(-3,-2,2,2)\}.
A pergunta é: qual é o valor de k tal que o ponto pertença a esse plano?
Informações relevantes fornecidas:
  • Ponto que deve pertencer ao plano: (-2,1,2,k).
  • Ponto-base do plano: (3,1,-1,2).
  • Vetores diretores (que geram a direção do plano): v_1=(2,-2,-1,3) e v_2=(-3,-2,2,2).
  • Opções de resposta: (A) -5, (B) -4, (C) -3, (D) -2, (E) -1, (F) 0, (G) 1, (H) 2.

Passo 2

Entendendo a definição usada: dizer que um ponto P pertence ao plano dado por
P_0+\operatorname{span}\{v_1,v_2\}
significa que existem escalares s e t tais que
P = P_0 + s\,v_1 + t\,v_2.
Aqui P_0=(3,1,-1,2), v_1=(2,-2,-1,3), v_2=(-3,-2,2,2) e P=(-2,1,2,k). Vou aplicar exatamente isso: escrever as igualdades coordenada a coordenada para achar s,t e k.

Passo 3

Escrevendo a igualdade vetorial coordenada a coordenada:
(-2,1,2,k) = (3,1,-1,2) + s(2,-2,-1,3) + t(-3,-2,2,2).
Isto gera quatro equações escalares (uma para cada coordenada):
\begin{cases} -2 = 3 + 2s - 3t,\\[4pt] 1 = 1 -2s -2t,\\[4pt] 2 = -1 - s + 2t,\\[4pt] k = 2 + 3s + 2t. \end{cases}]

Passo 4

Resolver as equações começando pela segunda, que é simples:
1 = 1 -2s -2t \quad\Rightarrow\quad -2s -2t = 0.
Dividindo por -2,
s + t = 0 \quad\Rightarrow\quad t = -s.
Expliquei: usar uma equação simples primeiro reduz as incógnitas naquelas mais complicadas.

Passo 5

Substituir t=-s na primeira equação:
-2 = 3 + 2s -3t = 3 + 2s -3(-s) = 3 + 2s +3s = 3 +5s.
Isolando s:
3 +5s = -2 \quad\Rightarrow\quad 5s = -5 \quad\Rightarrow\quad s = -1.
Então t = -s = 1.

Passo 6

Verificar a terceira equação como checagem (sempre bom confirmar):
\text{terceira: }2 \stackrel{?}{=} -1 - s + 2t.
Substituindo s=-1 e t=1:
-1 -(-1) + 2\cdot1 = -1 +1 +2 = 2,
que bate certinho. Então os valores de s e t estão consistentes.

Passo 7

Agora usar a quarta equação para obter k:
k = 2 + 3s + 2t.
Substituindo s=-1 e t=1:
k = 2 + 3(-1) + 2(1) = 2 -3 +2 = 1.

Passo 8

Conclusão: o valor de k que faz o ponto pertencer ao plano é 1. Comparando com as opções, isso corresponde à letra (G). Força aí — já era, você conseguiu!

Resposta

(G) 1

Exercícios relacionados