Q3: Sabendo que o ponto ( -2,1,2, k ) pertence ao plano (3,1,-1,2)+\operatorname{span}\{(2,-2,-1,3),(-3,-2,2,2)\}, assinale o valor de k :
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2
Passo 1
O enunciado dá um ponto (-2,1,2,k) e um plano escrito na forma ponto mais combinação linear:
Entendendo a definição usada: dizer que um ponto P pertence ao plano dado por
P_0+\operatorname{span}\{v_1,v_2\}
significa que existem escalares s e t tais que
P = P_0 + s\,v_1 + t\,v_2.
Aqui P_0=(3,1,-1,2), v_1=(2,-2,-1,3), v_2=(-3,-2,2,2) e P=(-2,1,2,k). Vou aplicar exatamente isso: escrever as igualdades coordenada a coordenada para achar s,t e k.
Passo 3
Escrevendo a igualdade vetorial coordenada a coordenada:
Verificar a terceira equação como checagem (sempre bom confirmar):
\text{terceira: }2 \stackrel{?}{=} -1 - s + 2t.
Substituindo s=-1 e t=1:
-1 -(-1) + 2\cdot1 = -1 +1 +2 = 2,
que bate certinho. Então os valores de s e t estão consistentes.
Passo 7
Agora usar a quarta equação para obter k:
k = 2 + 3s + 2t.
Substituindo s=-1 e t=1:
k = 2 + 3(-1) + 2(1) = 2 -3 +2 = 1.
Passo 8
Conclusão: o valor de k que faz o ponto pertencer ao plano é 1. Comparando com as opções, isso corresponde à letra (G). Força aí — já era, você conseguiu!