Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado nos dá o plano cujos pontos satisfazem a equação
e apresenta várias opções de representações paramétricas do tipo
, onde
.
O que se pede: identificar qual das alternativas (A)–(F) representa corretamente o mesmo plano.
Vou listar as informações contidas em cada alternativa (pegando os pontos e vetores das alternativas):
O que se pede: identificar qual das alternativas (A)–(F) representa corretamente o mesmo plano.
Vou listar as informações contidas em cada alternativa (pegando os pontos e vetores das alternativas):
- (A) ponto
, vetores e . - (B) ponto
, vetores e . - (C) ponto
, vetores e . - (D) ponto
, vetores e . - (E) ponto
, vetores e . - (F) ponto
, vetores e .
Passo 2
Plano paramétrico e critérios de verificação (aula rápida e prática).
- Um plano pode ser escrito como
, onde é um ponto do plano e são dois vetores diretores do plano (não colineares). - O vetor normal ao plano dado por
é — porque os coeficientes de formam um vetor perpendicular ao plano. - Condições que precisamos checar para cada alternativa:
- O ponto
deve satisfazer a equação do plano: . - Os vetores
e devem estar contidos no plano, o que equivale a serem ortogonais ao vetor normal . Teste de ortogonalidade: produto escalar e .
- O ponto
- Produto escalar: para
e vale . Se , os vetores são perpendiculares.
Passo 3
Verificação da alternativa (A).
- Teste do ponto: para
temos
logo o ponto está no plano.
- Teste dos vetores: com
e ,
Como os vetores não são ortogonais a
, eles não pertencem ao plano. Portanto (A) está incorreta.
Passo 4
Verificação da alternativa (B).
- Ponto
:
logo o ponto NÃO está no plano. Assim (B) está incorreta (nem precisa checar vetores).
Passo 5
Verificação da alternativa (C).
- Ponto
:
portanto o ponto está no plano.
- Vetores
e :
Ambos os produtos escalares são zero, ou seja,
e
são perpendiculares a
e pertencem ao plano. Além disso, os vetores não são múltiplos um do outro (portanto não colineares), logo geram o plano. Assim (C) é uma representação paramétrica válida do plano.
Passo 6
Verificação da alternativa (D).
- Ponto
já foi testado no Passo 4 e NÃO satisfaz a equação do plano. Portanto (D) está incorreta.
Passo 7
Verificação da alternativa (E).
- Ponto
satisfaz a equação (visto no Passo 3). - Vetores
e :
Como os vetores não são ortogonais ao normal, (E) está incorreta.
Passo 8
Verificação da alternativa (F).
- Ponto
satisfaz a equação (visto no Passo 5). - Vetores
e :
Portanto os vetores não pertencem ao plano e (F) está incorreta.
Passo 9
Conclusão: entre as alternativas testadas, apenas a alternativa (C) tem um ponto que satisfaz
e dois vetores diretores ambos perpendiculares ao vetor normal
. Assim a alternativa (C) é a representação paramétrica correta.
Resposta
(C)