Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 2 x+7 y+5 z=3\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(-1,1,-\frac{2}{5}\right)+t(23,0,-11)+s(0,-16,22)
(B) \left(1,-1,-\frac{7}{5}\right)+t(23,0,-11)+s(0,-16,22)
(C) \left(1,-1, \frac{8}{5}\right)+t(20,0,-8)+s(0,10,-14)
(D) \left(1,-1,-\frac{7}{5}\right)+t(20,0,-8)+s(0,10,-14)
(E) \left(-1,1,-\frac{2}{5}\right)+t(22,0,-10)+s(0,-14,20)
(F) \left(1,-1, \frac{8}{5}\right)+t(22,0,-10)+s(0,-14,20)

Passo 1

O enunciado nos dá o plano cujos pontos satisfazem a equação \,2x+7y+5z=3\, e apresenta várias opções de representações paramétricas do tipo \mathbf{r}_0 + t\mathbf{v} + s\mathbf{w}, onde s,t\in\mathbb{R}.
O que se pede: identificar qual das alternativas (A)–(F) representa corretamente o mesmo plano.
Vou listar as informações contidas em cada alternativa (pegando os pontos e vetores das alternativas):
  • (A) ponto \left(-1,1,-\dfrac{2}{5}\right), vetores (23,0,-11) e (0,-16,22).
  • (B) ponto \left(1,-1,-\dfrac{7}{5}\right), vetores (23,0,-11) e (0,-16,22).
  • (C) ponto \left(1,-1,\dfrac{8}{5}\right), vetores (20,0,-8) e (0,10,-14).
  • (D) ponto \left(1,-1,-\dfrac{7}{5}\right), vetores (20,0,-8) e (0,10,-14).
  • (E) ponto \left(-1,1,-\dfrac{2}{5}\right), vetores (22,0,-10) e (0,-14,20).
  • (F) ponto \left(1,-1,\dfrac{8}{5}\right), vetores (22,0,-10) e (0,-14,20).

Passo 2

Plano paramétrico e critérios de verificação (aula rápida e prática).
  • Um plano pode ser escrito como \mathbf{r}(s,t)=\mathbf{r}_0 + s\mathbf{v} + t\mathbf{w}, onde \mathbf{r}_0 é um ponto do plano e \mathbf{v},\mathbf{w} são dois vetores diretores do plano (não colineares).
  • O vetor normal ao plano dado por \,2x+7y+5z=3\, é \mathbf{n}=(2,7,5) — porque os coeficientes de x,y,z formam um vetor perpendicular ao plano.
  • Condições que precisamos checar para cada alternativa:
    1. O ponto \mathbf{r}_0=(x_0,y_0,z_0) deve satisfazer a equação do plano: 2x_0+7y_0+5z_0=3.
    2. Os vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} devem estar contidos no plano, o que equivale a serem ortogonais ao vetor normal \mathbf{n}. Teste de ortogonalidade: produto escalar \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=0.
  • Produto escalar: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) vale \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. Se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0, os vetores são perpendiculares.

Passo 3

Verificação da alternativa (A).
  • Teste do ponto: para \mathbf{r}_0=\left(-1,1,-\dfrac{2}{5}\right) temos
2(-1)+7(1)+5\!\left(-\dfrac{2}{5}\right) = -2+7-2 = 3,
logo o ponto está no plano.
  • Teste dos vetores: com \mathbf{v}=(23,0,-11) e \mathbf{w}=(0,-16,22),
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=2\cdot23+7\cdot0+5\cdot(-11)=46-55=-9\neq0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=2\cdot0+7\cdot(-16)+5\cdot22=-112+110=-2\neq0.
Como os vetores não são ortogonais a \mathbf{n}, eles não pertencem ao plano. Portanto (A) está incorreta.

Passo 4

Verificação da alternativa (B).
  • Ponto \mathbf{r}_0=\left(1,-1,-\dfrac{7}{5}\right):
2(1)+7(-1)+5\!\left(-\dfrac{7}{5}\right)=2-7-7=-12\neq3,
logo o ponto NÃO está no plano. Assim (B) está incorreta (nem precisa checar vetores).

Passo 5

Verificação da alternativa (C).
  • Ponto \mathbf{r}_0=\left(1,-1,\dfrac{8}{5}\right):
2(1)+7(-1)+5\!\left(\dfrac{8}{5}\right)=2-7+8=3,
portanto o ponto está no plano.
  • Vetores \mathbf{v}=(20,0,-8) e \mathbf{w}=(0,10,-14):
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=2\cdot20+7\cdot0+5\cdot(-8)=40-40=0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=2\cdot0+7\cdot10+5\cdot(-14)=70-70=0.
Ambos os produtos escalares são zero, ou seja, \mathbf{v} e \mathbf{w} são perpendiculares a \mathbf{n} e pertencem ao plano. Além disso, os vetores não são múltiplos um do outro (portanto não colineares), logo geram o plano. Assim (C) é uma representação paramétrica válida do plano.

Passo 6

Verificação da alternativa (D).
  • Ponto \left(1,-1,-\dfrac{7}{5}\right) já foi testado no Passo 4 e NÃO satisfaz a equação do plano. Portanto (D) está incorreta.

Passo 7

Verificação da alternativa (E).
  • Ponto \left(-1,1,-\dfrac{2}{5}\right) satisfaz a equação (visto no Passo 3).
  • Vetores \mathbf{v}=(22,0,-10) e \mathbf{w}=(0,-14,20):
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=2\cdot22+7\cdot0+5\cdot(-10)=44-50=-6\neq0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=2\cdot0+7\cdot(-14)+5\cdot20=-98+100=2\neq0.
Como os vetores não são ortogonais ao normal, (E) está incorreta.

Passo 8

Verificação da alternativa (F).
  • Ponto \left(1,-1,\dfrac{8}{5}\right) satisfaz a equação (visto no Passo 5).
  • Vetores \mathbf{v}=(22,0,-10) e \mathbf{w}=(0,-14,20):
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=44-50=-6\neq0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{w}=-98+100=2\neq0.
Portanto os vetores não pertencem ao plano e (F) está incorreta.

Passo 9

Conclusão: entre as alternativas testadas, apenas a alternativa (C) tem um ponto que satisfaz \,2x+7y+5z=3\, e dois vetores diretores ambos perpendiculares ao vetor normal \mathbf{n}=(2,7,5). Assim a alternativa (C) é a representação paramétrica correta.

Resposta

(C) \left(1,-1,\dfrac{8}{5}\right)+t(20,0,-8)+s(0,10,-14)

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