Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual das alternativas (A)–(F) apresenta uma equação paramétrica do plano dado por
. Informações fornecidas (cada alternativa dá um ponto e dois vetores-direção):
- (A) ponto
, vetores , . - (B) ponto
, vetores , . - (C) ponto
, vetores , . - (D) ponto
, vetores , . - (E) ponto
, vetores , . - (F) ponto
, vetores , .
O que o enunciado pede: escolher a alternativa que de fato define o plano
via uma parametrização
.
Passo 2
Conceito e estratégia para checar se uma dada parametrização representa o plano:
- Uma parametrização do plano tem a forma
, onde é um ponto do plano e são dois vetores linhares independentes contidos no plano. - Se
é um vetor normal ao plano, então quaisquer vetores do plano satisfazem e . - Para verificar se
está no plano, basta substituir as coordenadas de na equação do plano e ver se a igualdade é satisfeita. - Assim, para cada alternativa eu vou:
- verificar se o ponto
satisfaz ; - verificar se
e , onde .
- verificar se o ponto
- Se (1) e (2) forem verdade, e
forem linearmente independentes, então a parametrização representa o plano.
Passo 3
Calcular o vetor normal e relembrar a condição:
- O vetor normal do plano é
. - Para um vetor
estar contido no plano, deve valer .
Passo 4
Verificação da alternativa (A):
- Teste do ponto
: logo pertence ao plano. - Teste do vetor
: Como não é ortogonal a , não está contido no plano. Portanto (A) não é uma parametrização do plano.
Passo 5
Verificação da alternativa (B):
- Teste do ponto
: logo pertence ao plano. - Teste do vetor
: já calculado, então não está no plano. Portanto (B) também não serve.
Passo 6
Verificação da alternativa (C):
- Teste do ponto
: logo não pertence ao plano. Não é necessário checar os vetores: (C) não é válida.
Passo 7
Verificação da alternativa (D):
- O ponto é o mesmo de (C):
, e portanto então não está no plano. Logo (D) também é inválida.
Passo 8
Verificação da alternativa (E):
- Teste do ponto
: logo pertence ao plano. - Teste dos vetores:
- Para
: Portanto está no plano. - Para
: Portanto também está no plano.
- Para
- Independência linear de
e : tem componente não nula ( ) enquanto tem componente igual a zero; logo não são múltiplos um do outro e, portanto, são linearmente independentes. - Conclusão:
está no plano, e estão no plano e são independentes; assim a alternativa (E) fornece uma parametrização válida do plano.
Observação didática (como construir vetores de direção): uma maneira direta de obter vetores contidos no plano é resolver
(vincular a ortogonalidade ao normal). Por exemplo, escolhendo
e resolvendo para
dá
. Tomando
resulta
, ou seja o vetor
está no plano; multiplicando por
obtém-se
, que é exatamente
de (E). Escolhendo
e
na equação homogênea dá
, vetor
; multiplicando por
obtém-se
, que é
de (E). Isso mostra que as direções de (E) são combinações escalares de vetores construídos diretamente da condição
.
Passo 9
Verificação da alternativa (F) (só para completar):
- Teste do ponto
: então está no plano. - Teste dos vetores:
- Para
: logo não está no plano. - Para
: logo também não está no plano.
- Para
- Portanto (F) não é válida.
Resposta
(E)