Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-2 x+2 y+7 z=3\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(-1,1,-\frac{1}{7}\right)+t(-30,0,-6)+s(0,31,-11)
(B) (1,-1,1)+t(-30,0,-6)+s(0,31,-11)
(C) (1,-1,-1)+t(-26,0,-10)+s(0,27,-7)
(D) (1,-1,-1)+t(-28,0,-8)+s(0,-21,6)
(E) \left(-1,1,-\frac{1}{7}\right)+t(-28,0,-8)+s(0,-21,6)
(F) (1,-1,1)+t(-26,0,-10)+s(0,27,-7)

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das alternativas (A)–(F) apresenta uma equação paramétrica do plano dado por -2x+2y+7z=3. Informações fornecidas (cada alternativa dá um ponto e dois vetores-direção):
  • (A) ponto P=(-1,1,-\tfrac{1}{7}), vetores v_1=(-30,0,-6), v_2=(0,31,-11).
  • (B) ponto P=(1,-1,1), vetores v_1=(-30,0,-6), v_2=(0,31,-11).
  • (C) ponto P=(1,-1,-1), vetores v_1=(-26,0,-10), v_2=(0,27,-7).
  • (D) ponto P=(1,-1,-1), vetores v_1=(-28,0,-8), v_2=(0,-21,6).
  • (E) ponto P=(-1,1,-\tfrac{1}{7}), vetores v_1=(-28,0,-8), v_2=(0,-21,6).
  • (F) ponto P=(1,-1,1), vetores v_1=(-26,0,-10), v_2=(0,27,-7).
O que o enunciado pede: escolher a alternativa que de fato define o plano \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -2x+2y+7z=3\} via uma parametrização r(s,t)=P+s v_1+t v_2.

Passo 2

Conceito e estratégia para checar se uma dada parametrização representa o plano:
  • Uma parametrização do plano tem a forma \displaystyle r(s,t)=P_0+s\,u+t\,v, onde P_0 é um ponto do plano e u,v são dois vetores linhares independentes contidos no plano.
  • Se \mathbf{n} é um vetor normal ao plano, então quaisquer vetores u,v do plano satisfazem \mathbf{n}\cdot u=0 e \mathbf{n}\cdot v=0.
  • Para verificar se P_0 está no plano, basta substituir as coordenadas de P_0 na equação do plano e ver se a igualdade é satisfeita.
  • Assim, para cada alternativa eu vou:
    1. verificar se o ponto P satisfaz -2x+2y+7z=3;
    2. verificar se \mathbf{n}\cdot v_1=0 e \mathbf{n}\cdot v_2=0, onde \mathbf{n}=(-2,2,7).
  • Se (1) e (2) forem verdade, e v_1,v_2 forem linearmente independentes, então a parametrização representa o plano.

Passo 3

Calcular o vetor normal e relembrar a condição:
  • O vetor normal do plano é \displaystyle \mathbf{n}=(-2,2,7).
  • Para um vetor w=(w_x,w_y,w_z) estar contido no plano, deve valer \displaystyle \mathbf{n}\cdot w = -2w_x+2w_y+7w_z = 0.

Passo 4

Verificação da alternativa (A):
  • Teste do ponto P=(-1,1,-\tfrac{1}{7}): -2(-1)+2(1)+7\Big(-\tfrac{1}{7}\Big)=2+2-1=3,logo P pertence ao plano.
  • Teste do vetor v_1=(-30,0,-6): \mathbf{n}\cdot v_1 = -2(-30)+2(0)+7(-6)=60+0-42=18\neq 0.Como v_1 não é ortogonal a \mathbf{n}, v_1 não está contido no plano. Portanto (A) não é uma parametrização do plano.

Passo 5

Verificação da alternativa (B):
  • Teste do ponto P=(1,-1,1): -2(1)+2(-1)+7(1)=-2-2+7=3,logo P pertence ao plano.
  • Teste do vetor v_1=(-30,0,-6): já calculado, \mathbf{n}\cdot v_1=18\neq0,então v_1 não está no plano. Portanto (B) também não serve.

Passo 6

Verificação da alternativa (C):
  • Teste do ponto P=(1,-1,-1): -2(1)+2(-1)+7(-1)=-2-2-7=-11\neq 3,logo P não pertence ao plano. Não é necessário checar os vetores: (C) não é válida.

Passo 7

Verificação da alternativa (D):
  • O ponto é o mesmo de (C): P=(1,-1,-1), e portanto -2(1)+2(-1)+7(-1)=-11\neq3,então P não está no plano. Logo (D) também é inválida.

Passo 8

Verificação da alternativa (E):
  • Teste do ponto P=(-1,1,-\tfrac{1}{7}): -2(-1)+2(1)+7\Big(-\tfrac{1}{7}\Big)=2+2-1=3,logo P pertence ao plano.
  • Teste dos vetores:
    1. Para v_1=(-28,0,-8): \mathbf{n}\cdot v_1 = -2(-28)+2(0)+7(-8)=56+0-56=0.Portanto v_1 está no plano.
    2. Para v_2=(0,-21,6): \mathbf{n}\cdot v_2 = -2(0)+2(-21)+7(6)=0-42+42=0.Portanto v_2 também está no plano.
  • Independência linear de v_1 e v_2: v_1 tem componente x não nula ( -28) enquanto v_2 tem componente x igual a zero; logo não são múltiplos um do outro e, portanto, são linearmente independentes.
  • Conclusão: P está no plano, v_1 e v_2 estão no plano e são independentes; assim a alternativa (E) fornece uma parametrização válida do plano.
Observação didática (como construir vetores de direção): uma maneira direta de obter vetores contidos no plano é resolver -2x+2y+7z=0 (vincular a ortogonalidade ao normal). Por exemplo, escolhendo y=0 e resolvendo para x,z -2x+7z=0. Tomando z=2 resulta x=7, ou seja o vetor (7,0,2) está no plano; multiplicando por -4 obtém-se (-28,0,-8), que é exatamente v_1 de (E). Escolhendo x=0 e z=2 na equação homogênea dá 2y+14=0\Rightarrow y=-7, vetor (0,-7,2); multiplicando por -3 obtém-se (0,-21,6), que é v_2 de (E). Isso mostra que as direções de (E) são combinações escalares de vetores construídos diretamente da condição \mathbf{n}\cdot w=0.

Passo 9

Verificação da alternativa (F) (só para completar):
  • Teste do ponto P=(1,-1,1): -2(1)+2(-1)+7(1)=3,então P está no plano.
  • Teste dos vetores:
    1. Para v_1=(-26,0,-10): \mathbf{n}\cdot v_1 = -2(-26)+2(0)+7(-10)=52-70=-18\neq0,logo v_1 não está no plano.
    2. Para v_2=(0,27,-7): \mathbf{n}\cdot v_2 = -2(0)+2(27)+7(-7)=54-49=5\neq0,logo v_2 também não está no plano.
  • Portanto (F) não é válida.

Resposta

(E)

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