Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opçāo os conjuntos-soluçāo de ambos os sistemas tém dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}5 x+3 y+8 z=9, \\\\ 9 y+6 z=3, \\\\ -45 y-30 z=-15 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-8 x-24 y-36 z & =-20 \\\\ -15 x-40 z & =-20 \\\ x & =1 .\end{aligned}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}-9 x-24 z=-12, \\\\ 12 x+32 z=16,\end{array}\right. \left\{\begin{aligned} 5 x+9 y+2 z & =6, \\\\ 8 x+4 y & =1, \\\\ 40 x+20 y & =5 .\end{aligned}\right.
(C) \left\{\begin{aligned} 2 x+6 y+9 z & =5, \\\\ 3 x+8 z & =4, \\\ x & =1 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}10 x+30 y+45 z=25, \\\\ 24 x+12 y=3 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}-8 x-24 y-36 z=-20 \text {, } \\\\ -40 x-20 y=-5 \text {. }\end{array}\right. \left\{\begin{aligned} 25 x+45 y+10 z & =30, \\\\ 15 x+27 y+6 z & =18 .\end{aligned}\right.
(E) \quad\left\{\begin{aligned}-20 x-12 y-32 z & =-36, \\\\ -45 y-30 z & =-15 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned} 10 x+30 y+45 z & =25, \\\\ 6 x+18 y+27 z & =15 .\end{aligned}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}2 x+6 y+9 z=5, \\\\ -8 x-24 y-36 z=-20, \\\\ 3 x+8 z=4 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-10 x-30 y-45 z=-25, \\\\ -32 x-16 y=-4 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta seis alternativas (A)–(F). Em cada alternativa há dois sistemas lineares em três variáveis x,y,z. A pergunta é: em qual alternativa os dois conjuntos-solução (cada conjunto de soluções de cada sistema) têm dimensão 1, ou seja, cada conjunto é uma reta em \mathbb{R}^3.
Informações relevantes que temos (cada sistema está explicitado no enunciado; não peço nada adicional):
Cada sistema é do tipo A\mathbf{v}=\mathbf{b} com \mathbf{v}=(x,y,z).
Um conjunto-solução é uma reta em \mathbb{R}^3 exatamente quando o conjunto solução é um subespaço afim de dimensão 1. Para um sistema linear com 3 incógnitas isso acontece quando a matriz de coeficientes tem posto 2 e o sistema é consistente (posto da matriz aumentada igual ao posto da matriz de coeficientes).
Vou analisar, para cada sistema: (i) o posto da matriz de coeficientes (ver se há linhas/equações dependentes); (ii) consistência (ver se alguma equação dependente gera contradição ou não). Se o posto for 2 e o sistema consistente, então o conjunto solução tem dimensão 3-2=1.
Passo 2
Breve explicação do método (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
Para um sistema linear em 3 variáveis, a dimensão do conjunto solução (quando não-vazio) é \,3-\operatorname{rank}(A)\,, onde A é a matriz de coeficientes.
Para que o conjunto solução seja uma reta (dimensão 1) precisamos de \operatorname{rank}(A)=2 e que o sistema seja consistente (isto é, o posto da matriz aumentada [A|\mathbf b] também seja 2).
Em prática rápida: se houver exatamente duas equações linearmente independentes entre as dadas, e nenhuma contradição, o espaço solução terá dimensão 1. Se só houver uma equação independente, a solução é um plano (dimensão 2). Se houver três equações independentes e consistentes, solução é um ponto (dimensão 0). Se houver contradição (posto aumentado maior que posto de A), não há solução.
Vou, para cada sistema, identificar dependências lineares entre equações (mostrar multiplicadores simples quando existir) e verificar consistência substituindo quando for útil.
Observação: a terceira equação é -5\) vezes a segunda, pois
\[-5\cdot(9y+6z)=-45y-30z\quad\text{e}\quad -5\cdot 3=-15.
Logo a terceira é dependente da segunda. As equações independentes são a primeira e a segunda; portanto \operatorname{rank}(A)=2. Não há contradição (a dependência é com mesma multiplicação no termo independente), então o sistema é consistente. Conclusão: conjunto-solução de A1 tem dimensão 3-2=1 (uma reta).
Portanto há uma solução única (x,y,z)=\left(1,\frac{5}{16},\frac{1}{8}\right). Logo o conjunto-solução é um ponto (dimensão 0), não uma reta.
Conclusão da alternativa (A): primeiro sistema tem dimensão 1 mas o segundo tem dimensão 0. Portanto (A) não atende à condição "ambos têm dimensão 1".]
Compare as duas equações: multiplicando a primeira por -\tfrac{4}{3}\) obtém-se
\[-9\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)=12,\quad -24\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)=32,\quad -12\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)=16.
Portanto a segunda é um múltiplo da primeira: as duas equações são dependentes e o posto é 1. Assim a solução tem dimensão 3-1=2 (um plano), supondo consistência (aqui consistente porque os RHS também seguem a relação). Então B1 tem dimensão 2, não 1.
A terceira equação é 5\] vezes a segunda, pois \(5\cdot(8x+4y)=40x+20y e 5\cdot 1=5. Logo a terceira é dependente. As equações independentes são a primeira e a segunda, que não são múltiplos entre si (os vetores de coeficientes (5,9,2) e (8,4,0) são linearmente independentes). Assim \operatorname{rank}(A)=2 e o sistema, sendo consistente (não há contradição), tem conjunto-solução de dimensão 1. Porém B1 já deu dimensão 2, então (B) não atende.]
A terceira equação fixa [x=1). Substituindo na segunda: 3\cdot 1 +8z =4 \Rightarrow z=\tfrac{1}{8}. Substituindo em primeira determinará y unicamente (como em A2). Logo há solução única: dimensão 0. Portanto C1 não tem dimensão 1.
As duas equações são linearmente independentes (não são múltiplos), portanto \operatorname{rank}(A)=2\] e sistema consistente em geral, dando conjunto-solução de dimensão \(1. Mas já que C1 tem dimensão 0, a alternativa (C) falha.]
As duas equações não são múltiplos uma da outra (por exemplo, multiplicar a primeira por [5) dá -40,-120,-180 que não coincide com -40,-20,0), então \operatorname{rank}(A)=2 (duas equações independentes) e o conjunto-solução será de dimensão 1, se consistente (a menos de contradição explícita, que não existe aqui).
Verificar proporção: multiplicando a segunda por \tfrac{5}{3}\] obtém-se
\[15\cdot\tfrac{5}{3}=25,\quad 27\cdot\tfrac{5}{3}=45,\quad 6\cdot\tfrac{5}{3}=10,\quad 18\cdot\tfrac{5}{3}=30.\]
Portanto a primeira é múltiplo da segunda: as equações são dependentes e o posto é \(1. Assim D2 tem solução de dimensão 2 (um plano). Logo (D) não satisfaz.]
As equações não são múltiplos (a primeira tem coeficiente de [x) não nulo e a segunda tem coeficiente de x nulo), logo são independentes e \operatorname{rank}(A)=2. Não há contradição aparente, então E1 tem dimensão 1.
A segunda é \tfrac{3}{5}\] vezes a primeira (ou a primeira é \(\tfrac{5}{3} vezes a segunda), pois 6=10\cdot\tfrac{3}{5}, 18=30\cdot\tfrac{3}{5}, 27=45\cdot\tfrac{3}{5}, 15=25\cdot\tfrac{3}{5}. Logo as equações são dependentes e o posto é 1; assim o conjunto-solução tem dimensão 2. Portanto (E) não atende.]
Note que a segunda equação é -4\) vezes a primeira, pois
\[-4\cdot(2x+6y+9z) = -8x-24y-36z,
e -4\cdot 5=-20. Então a segunda é dependente da primeira. As equações independentes são a primeira e a terceira:
(2,6,9)\quad\text{e}\quad(3,0,8),
estas não são múltiplos uma da outra (coeficiente de y difere), logo \operatorname{rank}(A)=2. Não há contradição (a equação dependente tem RHS consistente), então o sistema é consistente. Assim F1 tem solução de dimensão 3-2=1.
As duas equações não são múltiplos entre si (se multiplicássemos a segunda por algum escalar para igualar o coeficiente de x\], os coeficientes de \(y,z não se ajustariam), portanto as duas são independentes e \operatorname{rank}(A)=2. Vamos verificar rapidamente consistência construindo uma parametrização (mostra que não há contradição):
Com x livre, y=\tfrac{1}{4}-2x e z como acima, existe claramente solução para qualquer escolha de x. Logo o sistema é consistente e tem um parâmetro livre (uma reta de soluções). Conclusão: F2 tem dimensão 1.
Portanto em (F) ambos os sistemas têm posto 2 e são consistentes, conduzindo a conjuntos-solução de dimensão 1.]
Passo 9
Conclusão final: entre as alternativas analisadas, apenas a alternativa (F) apresenta os dois sistemas com conjuntos-solução de dimensão 1.