Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado nos dá o conjunto de todos os vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
5x_{2}+x_{4}=-2.
Pede-se escolher, entre as alternativas (A)–(H), qual representação do tipo ``vetor particular + \operatorname{span}\{\cdot,\cdot,\cdot\}‘’ descreve exatamente esse conjunto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A solução é um hiperplano afim em \mathbb{R}^{4} definido por uma única equação linear, logo deve ter dimensão 3.
Cada alternativa fornece um ponto particular b\in\mathbb{R}^{4} e três vetores geradores v_1,v_2,v_3 (o span). Para que a alternativa esteja correta é necessário que:
O ponto particular b satisfaça \;5b_{2}+b_{4}=-2.
Cada gerador v satisfaça a condição homogênea associada, isto é \;5v_{2}+v_{4}=0. Isso garante que somas b+ combinações lineares de geradores permanecem no mesmo hiperplano.
Passo 2
Explicando por que as duas condições do passo anterior são necessárias (aula rápida e intuitiva).
Considere uma representação S = \{b + \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 \mid \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\}. Para qualquer vetor x=b+\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 temos
Queremos que 5x_{2}+x_{4} seja sempre -2. Portanto é obrigatório que 5b_{2}+b_{4}=-2 e que cada coeficiente 5v_{i,2}+v_{i,4}=0. Assim obtemos sempre 5x_{2}+x_{4}=-2 independentemente de \alpha,\beta,\gamma.
Resumo da regra prática para checar cada alternativa:
Checar se o ponto particular satisfaz \;5b_{2}+b_{4}=-2.
Checar se para cada gerador v vale \;5v_{2}+v_{4}=0.
Passo 3
Aplicando a regra: verificar rapidamente a condição do ponto particular em cada alternativa (isso elimina várias de cara).
(A) ponto b=(1,-2,2,8). Calcular \;5b_{2}+b_{4}=5(-2)+8=-10+8=-2. OK.
(B) ponto b=(-3,-2,-1,-17). \;5(-2)+(-17)=-10-17=-27\neq-2. Logo (B) está errada.
(C) ponto b=(1,-2,2,8). Já verificamos: -2. OK.
(D) ponto b=(-3,-2,-1,-17). Igual a (B): -27\neq-2. Errada.
(E) ponto b=(2,1,3,-7). \;5(1)+(-7)=5-7=-2. OK.
(F) ponto b=(3,2,-3,-12). \;5(2)+(-12)=10-12=-2. OK.
(G) ponto b=(3,2,-3,-12). Igual a (F): OK.
(H) ponto b=(2,1,3,-7). Igual a (E): OK.
Após esse passo restam candidatas possíveis: (A), (C), (E), (F), (G), (H). (B) e (D) foram eliminadas porque o ponto particular não satisfaz a equação.
Passo 4
Agora verificar a condição homogênea nos geradores de cada alternativa restante: para cada gerador v computar \;5v_{2}+v_{4}.
(A) geradores:
v^{(A)}_1=(0,-5,0,1): \;5(-5)+1=-25+1=-24\neq0. Portanto (A) falha (um gerador não preserva a equação).
Não é necessário checar os outros geradores de (A) depois deste fracasso — (A) está fora.
(C) geradores:
v^{\text{(C)}}_1=(0,1,0,-5): \;5(1)+(-5)=5-5=0.
v^{\text{(C)}}_2=(-2,0,0,0): \;5(0)+0=0.
v^{\text{(C)}}_3=(0,0,-4,0): \;5(0)+0=0.
Todos os três satisfazem a condição homogênea. (C) permanece como candidata válida.
(E) geradores:
v^{(E)}_1=(-5,0,1,0): \;5(0)+0=0.
v^{(E)}_2=(0,0,0,3): \;5(0)+3=3\neq0. Logo (E) falha.
(F) geradores:
v^{(F)}_1=(1,0,-5,0): \;5(0)+0=0.
v^{(F)}_2=(0,7,0,0): \;5(7)+0=35\neq0. Logo (F) falha.
(G) geradores:
v^{(G)}_1=(-5,0,1,0): \;5(0)+0=0.
v^{(G)}_2=(0,0,0,-5): \;5(0)+(-5)=-5\neq0. Logo (G) falha.
(H) geradores:
v^{(H)}_1=(1,0,-5,0): \;5(0)+0=0.
v^{(H)}_2=(0,2,0,0): \;5(2)+0=10\neq0. Logo (H) falha.
Após estas verificações, a única alternativa que passou as duas condições (ponto particular e geradores) foi a (C).
Passo 5
Para convencer completamente (e aprender a aplicar na prova), mostro de forma construtiva que a alternativa (C) gera exatamente todas as soluções da equação. Primeiramente escrevo a forma geral das soluções da equação
5x_{2}+x_{4}=-2.
Podemos tomar x_{1},x_{2},x_{3} como parâmetros livres; então
que é exatamente a forma geral de solução. Isso mostra construtivamente que o conjunto b+\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} coincide com o conjunto das soluções da equação dada.
Observação didática final: não é necessário que os geradores sejam os vetores unitários dos parâmetros; basta que gerem o espaço das variações que preservam a equação homogênea \;5x_{2}+x_{4}=0. Em (C) os três vetores geram exatamente esse espaço de dimensão 3.]
Passo 6
Conclusão final após as checagens: a única alternativa que satisfaz as duas condições (ponto particular na equação e todos os geradores satisfazendo a condição homogênea) é a (C). Além disso mostrei que a combinação afim proposta em (C) produz todas as soluções.