Q4: O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que 5 x_{2}+x_{4}=-2 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ 8\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -5 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 4 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -2 \\\\ -1 \\\\ -17\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -5 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -6 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ 8\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -4 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -2 \\\\ -1 \\\\ -17\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ -7\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-5 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -12\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 7 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 6\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -12\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-5 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ -7\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right]\right\}

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos dá o conjunto de todos os vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
5x_{2}+x_{4}=-2.
  • Pede-se escolher, entre as alternativas (A)–(H), qual representação do tipo ``vetor particular + \operatorname{span}\{\cdot,\cdot,\cdot\}‘’ descreve exatamente esse conjunto.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A solução é um hiperplano afim em \mathbb{R}^{4} definido por uma única equação linear, logo deve ter dimensão 3.
  • Cada alternativa fornece um ponto particular b\in\mathbb{R}^{4} e três vetores geradores v_1,v_2,v_3 (o span). Para que a alternativa esteja correta é necessário que:
    1. O ponto particular b satisfaça \;5b_{2}+b_{4}=-2.
    2. Cada gerador v satisfaça a condição homogênea associada, isto é \;5v_{2}+v_{4}=0. Isso garante que somas b+ combinações lineares de geradores permanecem no mesmo hiperplano.

Passo 2

Explicando por que as duas condições do passo anterior são necessárias (aula rápida e intuitiva).
Considere uma representação S = \{b + \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 \mid \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}\}. Para qualquer vetor x=b+\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 temos
5x_{2}+x_{4} = 5(b_{2}+\alpha v_{1,2}+\beta v_{2,2}+\gamma v_{3,2}) + (b_{4}+\alpha v_{1,4}+\beta v_{2,4}+\gamma v_{3,4}).
Reagrupando,
5x_{2}+x_{4} = (5b_{2}+b_{4}) + \alpha(5v_{1,2}+v_{1,4}) + \beta(5v_{2,2}+v_{2,4}) + \gamma(5v_{3,2}+v_{3,4}).
Queremos que 5x_{2}+x_{4} seja sempre -2. Portanto é obrigatório que 5b_{2}+b_{4}=-2 e que cada coeficiente 5v_{i,2}+v_{i,4}=0. Assim obtemos sempre 5x_{2}+x_{4}=-2 independentemente de \alpha,\beta,\gamma.
Resumo da regra prática para checar cada alternativa:
  • Checar se o ponto particular satisfaz \;5b_{2}+b_{4}=-2.
  • Checar se para cada gerador v vale \;5v_{2}+v_{4}=0.

Passo 3

Aplicando a regra: verificar rapidamente a condição do ponto particular em cada alternativa (isso elimina várias de cara).
  • (A) ponto b=(1,-2,2,8). Calcular \;5b_{2}+b_{4}=5(-2)+8=-10+8=-2. OK.
  • (B) ponto b=(-3,-2,-1,-17). \;5(-2)+(-17)=-10-17=-27\neq-2. Logo (B) está errada.
  • (C) ponto b=(1,-2,2,8). Já verificamos: -2. OK.
  • (D) ponto b=(-3,-2,-1,-17). Igual a (B): -27\neq-2. Errada.
  • (E) ponto b=(2,1,3,-7). \;5(1)+(-7)=5-7=-2. OK.
  • (F) ponto b=(3,2,-3,-12). \;5(2)+(-12)=10-12=-2. OK.
  • (G) ponto b=(3,2,-3,-12). Igual a (F): OK.
  • (H) ponto b=(2,1,3,-7). Igual a (E): OK.
Após esse passo restam candidatas possíveis: (A), (C), (E), (F), (G), (H). (B) e (D) foram eliminadas porque o ponto particular não satisfaz a equação.

Passo 4

Agora verificar a condição homogênea nos geradores de cada alternativa restante: para cada gerador v computar \;5v_{2}+v_{4}.
  • (A) geradores:
    • v^{(A)}_1=(0,-5,0,1): \;5(-5)+1=-25+1=-24\neq0. Portanto (A) falha (um gerador não preserva a equação).
    • Não é necessário checar os outros geradores de (A) depois deste fracasso — (A) está fora.
  • (C) geradores:
    • v^{\text{(C)}}_1=(0,1,0,-5): \;5(1)+(-5)=5-5=0.
    • v^{\text{(C)}}_2=(-2,0,0,0): \;5(0)+0=0.
    • v^{\text{(C)}}_3=(0,0,-4,0): \;5(0)+0=0.
      Todos os três satisfazem a condição homogênea. (C) permanece como candidata válida.
  • (E) geradores:
    • v^{(E)}_1=(-5,0,1,0): \;5(0)+0=0.
    • v^{(E)}_2=(0,0,0,3): \;5(0)+3=3\neq0. Logo (E) falha.
  • (F) geradores:
    • v^{(F)}_1=(1,0,-5,0): \;5(0)+0=0.
    • v^{(F)}_2=(0,7,0,0): \;5(7)+0=35\neq0. Logo (F) falha.
  • (G) geradores:
    • v^{(G)}_1=(-5,0,1,0): \;5(0)+0=0.
    • v^{(G)}_2=(0,0,0,-5): \;5(0)+(-5)=-5\neq0. Logo (G) falha.
  • (H) geradores:
    • v^{(H)}_1=(1,0,-5,0): \;5(0)+0=0.
    • v^{(H)}_2=(0,2,0,0): \;5(2)+0=10\neq0. Logo (H) falha.
Após estas verificações, a única alternativa que passou as duas condições (ponto particular e geradores) foi a (C).

Passo 5

Para convencer completamente (e aprender a aplicar na prova), mostro de forma construtiva que a alternativa (C) gera exatamente todas as soluções da equação. Primeiramente escrevo a forma geral das soluções da equação
5x_{2}+x_{4}=-2.
Podemos tomar x_{1},x_{2},x_{3} como parâmetros livres; então
x_{4}=-2-5x_{2}.
Logo a forma geral de um vetor solução é
\begin{bmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]-2-5x_{2}\end{bmatrix}.
Agora mostro que isso pode ser escrito usando o ponto e os geradores da alternativa (C). A alternativa (C) propõe
b=\begin{bmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]2\\[4pt]8\end{bmatrix},\quad v_1=\begin{bmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]-5\end{bmatrix},\quad v_2=\begin{bmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix},\quad v_3=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-4\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Tomando escalares \alpha,\beta,\gamma obtemos
b+\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 = \begin{bmatrix} 1-2\beta\\[4pt] -2+\alpha\\[4pt] 2-4\gamma\\[4pt] 8-5\alpha \end{bmatrix}.
Agora relacionar com a parametrização livre x_{1},x_{2},x_{3}. Se escolhermos
\alpha = x_{2}+2,\qquad \beta = \frac{1-x_{1}}{2},\qquad \gamma = \frac{2-x_{3}}{4},
então as coordenadas acima ficam
\begin{bmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3}\\[4pt] 8-5(x_{2}+2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3}\\[4pt] -2-5x_{2} \end{bmatrix},
que é exatamente a forma geral de solução. Isso mostra construtivamente que o conjunto b+\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} coincide com o conjunto das soluções da equação dada.
Observação didática final: não é necessário que os geradores sejam os vetores unitários dos parâmetros; basta que gerem o espaço das variações que preservam a equação homogênea \;5x_{2}+x_{4}=0. Em (C) os três vetores geram exatamente esse espaço de dimensão 3.]

Passo 6

Conclusão final após as checagens: a única alternativa que satisfaz as duas condições (ponto particular na equação e todos os geradores satisfazendo a condição homogênea) é a (C). Além disso mostrei que a combinação afim proposta em (C) produz todas as soluções.

Resposta

(C)

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