Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 1 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 4 & 1 \\\\ -1 & 5 & -11 & k \end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -10
(B) -9
(C) -8
(D) -7
(E) -6
(F) -5
(G) -4
(H) -3

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear (peguei todos os coeficientes do enunciado):
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 1 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 4 & 1 \\\\ -1 & 5 & -11 & k \end{array}\right]
O que a questão pede é: determinar o valor de k de modo que o sistema tenha solução. As alternativas são:
\text{(A) } -10,\\ \text{(B) } -9,\\ \text{\text{(C)} } -8,\\ \text{(D) } -7,\\ \text{(E) } -6,\\ \text{(F) } -5,\\ \text{(G) } -4,\\ \text{(H) } -3.

Passo 2

Escolhi usar eliminação de Gauss (redução por linhas) porque é um método direto para verificar consistência de um sistema: fazemos operações elementares nas linhas que não alteram o conjunto de soluções e obtemos uma forma triangular onde é fácil ver se aparece uma equação impossível do tipo 0= c com c\neq0. Vou explicar brevemente as operações que uso:
  • Somar múltiplos de uma linha a outra: \text{R}_i \leftarrow \text{R}_i + \lambda \text{R}_j.
    Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.

Passo 3

Começo usando a primeira linha como pivô e elimino as entradas abaixo dela na coluna 1. Faço as seguintes operações:
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 + \text{R}_1,\qquad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 2\text{R}_1,\qquad \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 + \text{R}_1.
Calculemos cada uma:
  • \text{R}_2 + \text{R}_1 = [-1+1,\\\ -1+(-2),\\\ 1+1\\ |\\\ 1+1] = [0,\\\ -3,\\\ 2\\ |\\\ 2].
  • \text{R}_3 - 2\text{R}_1 = [2-2,\\\ -1-2(-2),\\\ 4-2\cdot1\\ |\\\ 1-2\cdot1] = [0,\\\ 3,\\\ 2\\ |\\\ -1].
  • \text{R}_4 + \text{R}_1 = [-1+1,\\\ 5+(-2),\\\ -11+1\\ |\\ k+1] = [0,\\\ 3,\\\ -10\\ |\\ k+1].
A matriz fica então
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & 2 & 2 \\\\ 0 & 3 & 2 & -1 \\\\ 0 & 3 & -10 & k+1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora uso a segunda linha \text{R}_2=[0,-3,2|2] como pivô para zerar as entradas na coluna 2 das linhas 3 e 4. Faço:
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + \text{R}_2,\qquad \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 + \text{R}_2.
Calculemos:
  • \text{R}_3 + \text{R}_2 = [0+0,\\\ 3+(-3),\\\ 2+2\\ |\\\ -1+2] = [0,\\\ 0,\\\ 4\\ |\\\ 1].
  • \text{R}_4 + \text{R}_2 = [0+0,\\\ 3+(-3),\\\ -10+2\\ |\\ k+1+2] = [0,\\\ 0,\\\ -8\\ |\\ k+3].
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 0 & -8 & k+3 \end{array}\right].

Passo 5

Agora uso a terceira linha \text{R}_3=[0,0,4|1] como pivô para zerar a entrada da linha 4 na coluna 3. Faço:
\text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 + 2\text{R}_3.
Calculemos:
  • Coeficientes da linha 4: -8 + 2\cdot 4 = 0.
  • Termo independente da linha 4: k+3 + 2\cdot 1 = k+5.
Assim a última linha fica [0,0,0 \mid k+5]. A matriz reduzida tem a forma
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & 2 & 2 \\\\ 0 & 0 & 4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & k+5 \end{array}\right].

Passo 6

Interpretação da última linha: ela corresponde à equação 0x_1+0x_2+0x_3 = k+5, ou seja 0 = k+5. Para que o sistema seja consistente (tenha solução), essa equação precisa ser verdadeira, logo devemos ter
k+5 = 0 \quad\Rightarrow\quad k = -5.
Se k\neq -5 apareceria a equação impossível 0 = número não nulo e o sistema não teria solução.
Adicional: quando k=-5 as três primeiras linhas dão pivôs nas três colunas de variáveis, logo o sistema terá exatamente uma solução única nesse caso.

Resposta

(F) -5

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