Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. Todo subconjunto de
com 8 vetores é LD.
II. Todo conjunto gerador de
com 7 vetores é uma base de
.
III. Existe um subconjunto LI de
com 7 vetores que não gera $V.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. Todo subconjunto de
II. Todo conjunto gerador de
III. Existe um subconjunto LI de
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
e apresenta três afirmativas I, II, III. A tarefa é identificar quais das afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre as dadas.
As afirmativas são:
I. Todo subconjunto de com
vetores é linearmente dependente (LD).
II. Todo conjunto gerador de com
vetores é uma base de
.
III. Existe um subconjunto linearmente independente (LI) de com
vetores que não gera
.
I. Todo subconjunto de
II. Todo conjunto gerador de
III. Existe um subconjunto linearmente independente (LI) de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. - Precisamos julgar verdade/falsidade de I, II e III e escolher a alternativa que corresponde ao conjunto correto de afirmações verdadeiras.
Passo 2
Entender o que significam “base”, “gerador” e “linearmente dependente/independente” (rápido e claro):
- Um conjunto
é gerador (ou "gera ") se todo vetor de pode ser escrito como combinação linear de vetores de . - Um conjunto
é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero). - Uma base de
é um conjunto que é simultaneamente LI e gerador. - Dimensão
significa, por definição, que existe uma base de com exatamente vetores, e que nenhuma família LI de tem mais do que vetores (ou equivalentemente, toda base tem elementos).
Agora vamos provar a afirmativa I.
Prova de I (passo a passo e didático):
- Pela definição de dimensão, qualquer conjunto linearmente independente em
tem, no máximo, vetores. Isso porque uma base tem vetores e base é uma LI máxima. - Suponha, por contradição, que exista um subconjunto
com vetores que seja LI. Isso violaria a propriedade anterior (uma família LI não pode ter mais que vetores). - Logo, não existe família LI com
vetores; portanto qualquer subconjunto com vetores deve ser linearmente dependente.
Observação concreta para fixar a ideia: em
(dimensão
) qualquer conjunto com
vetores é LD; o mesmo princípio vale aqui com
trocado por
.
Conclusão: I é verdadeira.
Passo 3
Provar a afirmativa II: “Todo conjunto gerador de
com
vetores é uma base de
.”
Ferramenta que vou usar (explicada): teorema útil — “todo conjunto gerador contém uma base”. Intuição/algoritmo: se um conjunto gerador tem vetores redundantes, pode-se remover um vetor que é combinação dos outros e ainda gerar
; repetindo, fica-se com um subconjunto gerador mínimo que é LI — ou seja, uma base. Esse procedimento é elementar e pode ser descrito como: eliminar vetores que são combinação linear dos precedentes até que não haja mais redundância; o conjunto que sobra é uma base.
Prova de II (passo a passo):
- Seja
um conjunto gerador com . - Pelo teorema citado,
contém uma base . Como , toda base tem exatamente elementos, então . - Mas
e . A única possibilidade é . - Como
é base (LI e geradora) e , concluímos que é base.
Comentário prático: em
, se um conjunto gera
e tem exatamente
vetores, então esses 3 vetores formam necessariamente uma base. Aqui é exatamente o análogo com
trocado por
.
Conclusão: II é verdadeira.
Passo 4
Provar (ou refutar) a afirmativa III: “Existe um subconjunto LI de
com
vetores que não gera
.”
Razão teórica curta e clara:
- Em um espaço vetorial de dimensão
vale o fato fundamental: qualquer conjunto LI com exatamente vetores é uma base e, portanto, gera o espaço. Outra forma de ver: uma família LI pode ser estendida a uma base; se já tem vetores (igual à dimensão), não há como estendê-la, então ela já é base.
Prova de que III é falsa (passo a passo):
- Seja
um conjunto LI com . - Pela definição de dimensão, uma base tem
vetores, e uma família LI máxima tem tamanho . Logo já tem o tamanho máximo possível para uma família LI. - Portanto
é uma base (é LI e de tamanho da dimensão), e como base gera . - Assim, não pode existir um subconjunto LI com
vetores que não gere .
Exemplo simples para intuir: em
não existe conjunto LI de
vetores que não gere
; qualquer trio LI em
já é base e gera todo o espaço. Mesma ideia em dimensão
.
Conclusão: III é falsa.
Passo 5
Resumo final do que foi decidido:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Portanto, somente I e II são verdadeiras; entre as alternativas dadas, a que corresponde a “Só I e II são verdadeiras” é a correta.
Resposta
(A)