Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. Todo subconjunto de V com 8 vetores é LD.
II. Todo conjunto gerador de V com 7 vetores é uma base de V.
III. Existe um subconjunto LI de V com 7 vetores que não gera $V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão 7 e apresenta três afirmativas I, II, III. A tarefa é identificar quais das afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre as dadas.
As afirmativas são:
I. Todo subconjunto de V com 8 vetores é linearmente dependente (LD).
II. Todo conjunto gerador de V com 7 vetores é uma base de V.
III. Existe um subconjunto linearmente independente (LI) de V com 7 vetores que não gera V.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \dim(V)=7.
  • Precisamos julgar verdade/falsidade de I, II e III e escolher a alternativa que corresponde ao conjunto correto de afirmações verdadeiras.

Passo 2

Entender o que significam “base”, “gerador” e “linearmente dependente/independente” (rápido e claro):
  • Um conjunto S\subset V é gerador (ou "gera V") se todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear de vetores de S.
  • Um conjunto S\subset V é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
  • Uma base de V é um conjunto que é simultaneamente LI e gerador.
  • Dimensão \dim(V)=n significa, por definição, que existe uma base de V com exatamente n vetores, e que nenhuma família LI de V tem mais do que n vetores (ou equivalentemente, toda base tem n elementos).
Agora vamos provar a afirmativa I.
Prova de I (passo a passo e didático):
  1. Pela definição de dimensão, qualquer conjunto linearmente independente em V tem, no máximo, \,7 vetores. Isso porque uma base tem 7 vetores e base é uma LI máxima.
  2. Suponha, por contradição, que exista um subconjunto S\subset V com 8 vetores que seja LI. Isso violaria a propriedade anterior (uma família LI não pode ter mais que 7 vetores).
  3. Logo, não existe família LI com 8 vetores; portanto qualquer subconjunto com 8 vetores deve ser linearmente dependente.
Observação concreta para fixar a ideia: em \mathbb{R}^3 (dimensão 3) qualquer conjunto com 4 vetores é LD; o mesmo princípio vale aqui com 3 trocado por 7.
Conclusão: I é verdadeira.

Passo 3

Provar a afirmativa II: “Todo conjunto gerador de V com 7 vetores é uma base de V.”
Ferramenta que vou usar (explicada): teorema útil — “todo conjunto gerador contém uma base”. Intuição/algoritmo: se um conjunto gerador tem vetores redundantes, pode-se remover um vetor que é combinação dos outros e ainda gerar V; repetindo, fica-se com um subconjunto gerador mínimo que é LI — ou seja, uma base. Esse procedimento é elementar e pode ser descrito como: eliminar vetores que são combinação linear dos precedentes até que não haja mais redundância; o conjunto que sobra é uma base.
Prova de II (passo a passo):
  1. Seja G\subset V um conjunto gerador com |G|=7.
  2. Pelo teorema citado, G contém uma base B. Como \dim(V)=7, toda base tem exatamente 7 elementos, então |B|=7.
  3. Mas B\subseteq G e |B|=|G|=7. A única possibilidade é B=G.
  4. Como B é base (LI e geradora) e B=G, concluímos que G é base.
Comentário prático: em \mathbb{R}^3, se um conjunto gera \mathbb{R}^3 e tem exatamente 3 vetores, então esses 3 vetores formam necessariamente uma base. Aqui é exatamente o análogo com 3 trocado por 7.
Conclusão: II é verdadeira.

Passo 4

Provar (ou refutar) a afirmativa III: “Existe um subconjunto LI de V com 7 vetores que não gera V.”
Razão teórica curta e clara:
  • Em um espaço vetorial de dimensão n vale o fato fundamental: qualquer conjunto LI com exatamente n vetores é uma base e, portanto, gera o espaço. Outra forma de ver: uma família LI pode ser estendida a uma base; se já tem n vetores (igual à dimensão), não há como estendê-la, então ela já é base.
Prova de que III é falsa (passo a passo):
  1. Seja S\subset V um conjunto LI com |S|=7.
  2. Pela definição de dimensão, uma base tem 7 vetores, e uma família LI máxima tem tamanho 7. Logo S já tem o tamanho máximo possível para uma família LI.
  3. Portanto S é uma base (é LI e de tamanho da dimensão), e como base gera V.
  4. Assim, não pode existir um subconjunto LI com 7 vetores que não gere V.
Exemplo simples para intuir: em \mathbb{R}^3 não existe conjunto LI de 3 vetores que não gere \mathbb{R}^3; qualquer trio LI em \mathbb{R}^3 já é base e gera todo o espaço. Mesma ideia em dimensão 7.
Conclusão: III é falsa.

Passo 5

Resumo final do que foi decidido:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
Portanto, somente I e II são verdadeiras; entre as alternativas dadas, a que corresponde a “Só I e II são verdadeiras” é a correta.

Resposta

(A)

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