Para cada operação binária definida sobre o conjunto
dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
Passo 1
O enunciado define
com a operação
Para analisar, vamos usar as definições:
– associativa: para todo
;
– comutativa: para todo
;
– elemento neutro: existe tal que
;
– elemento simetrizável (invertível): para , existe
tal que
;
– grupo abeliano: se é associativo, comutativo, tem neutro e todos os elementos são invertíveis.
– associativa:
– comutativa:
– elemento neutro: existe
– elemento simetrizável (invertível): para
– grupo abeliano: se é associativo, comutativo, tem neutro e todos os elementos são invertíveis.
Passo 2
Verificamos associatividade calculando
e
Como
para todo
, a operação é associativa.
Passo 3
Para comutatividade observamos
logo
e a operação é comutativa.
Passo 4
Procuramos
tal que
:
Verificando também
, concluímos que o elemento neutro é
.
Passo 5
Dado
, buscamos
com
:
Como esse
funciona também em
, todo
tem inverso
. Portanto o conjunto de elementos simetrizáveis é
.
Passo 6
Como a operação é associativa, comutativa, possui neutro em
e todo elemento é invertível,
é de fato um grupo abeliano.
Resposta
i) associativa: sim; comutativa: sim; elemento neutro:
.
ii) conjunto dos simetrizáveis: , com inverso de
dado por
.
iii) é um grupo abeliano.
ii) conjunto dos simetrizáveis:
iii)