Para cada operação binária definida sobre o conjunto S dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
S=R e *: R times R R dada por x * y=x+y-11

Passo 1

O enunciado define S = R com a operação
x * y = x + y - 11
Para analisar, vamos usar as definições:
– associativa: (x*y)*z = x*(y*z) para todo x,y,z;
– comutativa: x*y = y*x para todo x,y;
– elemento neutro: existe e tal que x*e = e*x = x;
– elemento simetrizável (invertível): para a, existe b tal que a*b = b*a = e;
– grupo abeliano: se é associativo, comutativo, tem neutro e todos os elementos são invertíveis.

Passo 2

Verificamos associatividade calculando
(x*y)*z = (x + y - 11) + z - 11 = x + y + z - 22
e
x*(y*z) = x + (y + z - 11) - 11 = x + y + z - 22
Como (x*y)*z = x*(y*z) para todo x,y,z, a operação é associativa.

Passo 3

Para comutatividade observamos
x*y = x + y - 11 = y + x - 11 = y*x,
logo x*y = y*x e a operação é comutativa.

Passo 4

Procuramos e tal que x*e = x:
x + e - 11 = x implies e = 11
Verificando também e*x = 11 + x - 11 = x, concluímos que o elemento neutro é e = 11.

Passo 5

Dado ainR, buscamos b com a*b = 11:
a + b - 11 = 11 implies b = 22 - a
Como esse b = 22 - a funciona também em b*a, todo a tem inverso 22 - a. Portanto o conjunto de elementos simetrizáveis é R.

Passo 6

Como a operação é associativa, comutativa, possui neutro em 11 e todo elemento é invertível, (R,*) é de fato um grupo abeliano.

Resposta

i) associativa: sim; comutativa: sim; elemento neutro: 11.
ii) conjunto dos simetrizáveis: R, com inverso de a dado por 22 - a.
iii) (R,*) é um grupo abeliano.

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