Para cada operação binária definida sobre o conjunto S dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
S=R e *: R times R R dada por x * y=y

Passo 1

O enunciado define em S=R a operação
x * y = y
Queremos verificar (i) se essa operação é associativa, comutativa e se admite elemento neutro; (ii) quais elementos são invertíveis (simetrizáveis); (iii) se isso forma um grupo (abeliano).

Passo 2

Para checar associatividade, calculamos
(x*y)*z = (,y,)*z = z
e
x*(y*z) = x*(,z,) = z
Como ambas as expressões valem z, temos
(x*y)*z = x*(y*z),
logo a operação é associativa.

Passo 3

Para verificar comutatividade, comparamos
x*y = y e y*x = x
Em geral yneq x, então x*yneq y*x. Concluímos que a operação não é comutativa.

Passo 4

Buscamos einR tal que para todo xinR valha
x*e = x e e*x = x
Mas
x*e = eRightarrow e=x(impossível para um e fixo), í
embora e*x=x seja sempre verdade. Logo não existe elemento neutro.

Passo 5

Como não há elemento neutro, não faz sentido falar em inverso de algum a (porque a cdot b = neutro não tem solução). Portanto, o conjunto de elementos simetrizáveis é o conjunto vazio:
varnothing

Passo 6

Para ser grupo precisamos de associatividade (temos), elemento neutro (não há) e inversos (não há). Logo não é grupo, muito menos grupo abeliano.

Resposta

(i) Associativa: sim. Comutativa: não. Elemento neutro: não existe.
(ii) Conjunto de simetrizáveis: varnothing.
(iii) Não forma grupo (e, portanto, não forma grupo abeliano).

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