Para cada operação binária definida sobre o conjunto
dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
Passo 1
O enunciado define em
a operação
Queremos verificar (i) se essa operação é associativa, comutativa e se admite elemento neutro; (ii) quais elementos são invertíveis (simetrizáveis); (iii) se isso forma um grupo (abeliano).
Passo 2
Para checar associatividade, calculamos
e
Como ambas as expressões valem
, temos
logo a operação é associativa.
Passo 3
Para verificar comutatividade, comparamos
Em geral
, então
. Concluímos que a operação não é comutativa.
Passo 4
Buscamos
tal que para todo
valha
Mas
embora
seja sempre verdade. Logo não existe elemento neutro.
Passo 5
Como não há elemento neutro, não faz sentido falar em inverso de algum
(porque
não tem solução). Portanto, o conjunto de elementos simetrizáveis é o conjunto vazio:
Passo 6
Para ser grupo precisamos de associatividade (temos), elemento neutro (não há) e inversos (não há). Logo não é grupo, muito menos grupo abeliano.
Resposta
(i) Associativa: sim. Comutativa: não. Elemento neutro: não existe.
(ii) Conjunto de simetrizáveis: .
(iii) Não forma grupo (e, portanto, não forma grupo abeliano).
(ii) Conjunto de simetrizáveis:
(iii) Não forma grupo (e, portanto, não forma grupo abeliano).