Movimento vertical Um objeto movendo-se verticalmente tem sua altura s registrada no instante específico t, como indicado na lista dada. Encontre a função posição
s=12 a t^2+v0 t+s0
do objeto.
(a) Em t=0 segundo, s=160 pés
Em t=1 segundo, s=96 pés
Em t=2 segundos, s=0
(b) Em t=1 segundo, s=134 pés
Em t=2 segundos, s=86 pés
Em t=3 segundos, s=6 pés
(c) Em t=1 segundo, s=184 pés
Em t=2 segundos, s=116 pés
Em t=3 segundos, s=16 pés

Passo 1

O enunciado nos dá três conjuntos de medições de altura s em função do tempo t, e pede para encaixar cada conjunto na forma da função posição
s(t)=tfrac12,a,t^2 + v0,t + s0,
onde a é a aceleração (supõe-se constante), v0 é a velocidade inicial e s0 é a altura inicial. Vamos, para cada caso, montar um sistema de três equações lineares em a, v0 e s0, resolver e então escrever s(t).

Passo 2

Para cada conjunto de dados, substituímos os três pares (t,s) na fórmula
s(t)=tfrac12,a,t^2 + v0,t + s0
e obtemos um sistema de três equações. Em seguida eliminamos s0 subtraindo as equações, encontramos a e v0, e finalmente s0.

Passo 3

Caso (a):
Em t=0, s=160
s0 = 160
Em t=1, s=96
tfrac12 a + v0 + 160 = 96 Longrightarrow tfrac12 a + v0 = -64
Em t=2, s=0
2a + 2v0 + 160 = 0 Longrightarrow 2a + 2v0 = -160
Dividindo por 2: a + v0 = -80. Subtraindo de tfrac12 a + v0 = -64 achamos
a=-32, v0=-48, s0=160
Logo
s(t) = tfrac12(-32),t^2 + (-48),t + 160 = -16,t^2 -48,t +160

Passo 4

Caso (b):
Em t=1, s=134
tfrac12 a + v0 + s0 = 134
Em t=2, s=86
2a + 2v0 + s0 = 86
Em t=3, s=6
tfrac92 a + 3v0 + s0 = 6
Subtraindo a primeira da segunda: 1,5a + v0 = -48. Subtraindo a segunda da terceira: 2,5a + v0 = -80. Desse sistema vem
a=-32, v0=0, s0=150
Portanto
s(t) = tfrac12(-32),t^2 + 0cdot t +150 = -16,t^2 +150

Passo 5

Caso (c):
Em t=1, s=184
tfrac12 a + v0 + s0 = 184
Em t=2, s=116
2a + 2v0 + s0 = 116
Em t=3, s=16
tfrac92 a + 3v0 + s0 = 16
De novo subtraindo em cadeia obtemos
a=-32, v0=-20, s0=220
Assim
s(t) = tfrac12(-32),t^2 + (-20),t +220 = -16,t^2 -20,t +220

Resposta

(a) s(t) = -16,t^2 - 48,t + 160
(b) s(t) = -16,t^2 + 150
(c) s(t) = -16,t^2 - 20,t + 220

Exercícios relacionados