Para cada operação binária definida sobre o conjunto S dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
S=Q e *: Q times Q Q dada por x * y=x-y9

Passo 1

O enunciado define em S=Q a operação
x*y = x - y9
Precisamos verificar (i) se * é associativa, se é comutativa e se existe elemento neutro; (ii) quais elementos são simetrizáveis; (iii) se isso forma um grupo (abeliano).

Passo 2

Para testar associatividade comparamos (x*y)*z e x*(y*z).
(x*y)*z = l(tfracx - y9 - zr)/9 = x - y - 9z81,
x*(y*z) = l(x - tfracy - z9r)/9 = 9x - y + z81
Como em geral
x - y - 9z81neq 9x - y + z81,
* não é associativa.

Passo 3

Para comutatividade comparamos
x*y = x - y9,
y*x = y - x9 = -x - y9 = -l(x*yr)
Logo em geral x*yneq y*x, então * não é comutativa.

Passo 4

Procuramos einQ tal que para todo x valha
x*e = x - e9 = x Longrightarrow e = -8x
e
e*x = e - x9 = x Longrightarrow e = 10x
Como não há um único e que funcione para todo x, não existe elemento neutro.

Passo 5

Sem elemento neutro não faz sentido falar em inverso de x. Portanto, não há elementos simetrizáveis e o conjunto de tais elementos é o conjunto vazio.

Passo 6

Para ser grupo precisaríamos de associatividade, elemento neutro e inversos. Aqui não temos nenhum desses, logo não forma grupo, muito menos abeliano.

Resposta

i) * não é associativa; não é comutativa; não admite elemento neutro.
ii) o conjunto de simetrizáveis é varnothing.
iii) não forma grupo (nem abeliano).

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