Para cada operação binária definida sobre o conjunto
dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
Passo 1
O enunciado define em
a operação
Precisamos verificar (i) se
é associativa, se é comutativa e se existe elemento neutro; (ii) quais elementos são simetrizáveis; (iii) se isso forma um grupo (abeliano).
Passo 2
Para testar associatividade comparamos
e
.
Como em geral
Passo 3
Para comutatividade comparamos
Logo em geral
, então
não é comutativa.
Passo 4
Procuramos
tal que para todo
valha
e
Como não há um único
que funcione para todo
, não existe elemento neutro.
Passo 5
Sem elemento neutro não faz sentido falar em inverso de
. Portanto, não há elementos simetrizáveis e o conjunto de tais elementos é o conjunto vazio.
Passo 6
Para ser grupo precisaríamos de associatividade, elemento neutro e inversos. Aqui não temos nenhum desses, logo não forma grupo, muito menos abeliano.
Resposta
i)
não é associativa; não é comutativa; não admite elemento neutro.
ii) o conjunto de simetrizáveis é .
iii) não forma grupo (nem abeliano).
ii) o conjunto de simetrizáveis é
iii) não forma grupo (nem abeliano).