Para cada operação binária definida sobre o conjunto S dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
S=x in Q: x neq 1, odot: S times S S dada por x odot y=x+y-x y

Passo 1

O enunciado define em S=xinQ:xneq1 a operação binária
xodot y = x + y - x,y
Queremos verificar (i) se odot é associativa, comutativa e se existe elemento neutro; (ii) quais xin S admitem simétrico (inverso); (iii) se (S,odot) é grupo abeliano. Para isso, usaremos técnicas de álgebra de grupos e um isomorfismo com o grupo multiplicativo de Q^*=Qsetminus0.

Passo 2

Mostramos que odot é comutativa e associativa via o isomorfismo
varphicolon StoQ^*, varphi(x)=1-x
Note que, para quaisquer x,yin S:
varphi(xodot y) =1-(x+y-xy) =1-x-y+xy =(1-x)(1-y) =varphi(x),varphi(y)
Como a multiplicação em Q^* é comutativa e associativa, segue que odot também é comutativa e associativa.

Passo 3

Determinamos o elemento neutro ein S resolvendo
xodot e = x Longrightarrow x + e - x,e = x Longrightarrow e,(1-x)=0
Como xneq1 implica 1-xneq0, obtemos e=0. Verificamos também eodot x=0+x-0cdot x=x, logo 0 é neutro.

Passo 4

Para cada xin S buscamos yin S tal que
xodot y = 0
Isto é,
x + y - x,y = 0 Longrightarrow y,(1-x) = -x Longrightarrow y = -x1-x
Como xneq1, o denominador não se anula, e verifica-se que -tfracx1-xneq1 (pois isto levaria a 0neq1). Logo todo xin S tem inverso em S, e o conjunto dos elementos simetrizáveis é S inteiro, com
x^-1 = -x1-x

Passo 5

Concluímos que odot satisfaz: fechamento, associatividade (Passo 2), existência de neutro 0 (Passo 3), existência de inversos para todo xin S (Passo 4) e comutatividade (Passo 2). Portanto (S,odot) é de fato um grupo abeliano.

Resposta

i) odot é associativa e comutativa; o elemento neutro é 0.
ii) Todo xin S é invertível; o inverso é x^-1=-tfracx1-x.
iii) (S,odot) é um grupo abeliano.

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