Para cada operação binária definida sobre o conjunto
dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
Passo 1
O enunciado define em
a operação binária
Queremos verificar (i) se
é associativa, comutativa e se existe elemento neutro; (ii) quais
admitem simétrico (inverso); (iii) se
é grupo abeliano. Para isso, usaremos técnicas de álgebra de grupos e um isomorfismo com o grupo multiplicativo de
.
Passo 2
Mostramos que
é comutativa e associativa via o isomorfismo
Note que, para quaisquer
:
Como a multiplicação em
é comutativa e associativa, segue que
também é comutativa e associativa.
Passo 3
Determinamos o elemento neutro
resolvendo
Como
implica
, obtemos
. Verificamos também
, logo
é neutro.
Passo 4
Para cada
buscamos
tal que
Isto é,
Como
, o denominador não se anula, e verifica-se que
(pois isto levaria a
). Logo todo
tem inverso em
, e o conjunto dos elementos simetrizáveis é
inteiro, com
Passo 5
Concluímos que
satisfaz: fechamento, associatividade (Passo 2), existência de neutro
(Passo 3), existência de inversos para todo
(Passo 4) e comutatividade (Passo 2). Portanto
é de fato um grupo abeliano.
Resposta
i)
é associativa e comutativa; o elemento neutro é
.
ii) Todo é invertível; o inverso é
.
iii) é um grupo abeliano.
ii) Todo
iii)