Para cada operação binária definida sobre o conjunto
dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a operação binária
dada por
O que precisamos fazer é:
- Verificar se
é associativa, comutativa e achar elemento neutro. - Determinar os elementos que admitem inverso (simetrizáveis).
- Concluir se
é (abeliano) grupo.
Passo 2
Para ver associatividade, calculamos
e
Como as somas são iguais,
é associativa.
Passo 3
Note que
logo
é comutativa.
Passo 4
Buscamos
tal que
.
Como
, temos
, logo
. Verificamos também
então
é o elemento neutro.
Passo 5
Para achar o inverso de
, resolvemos
Como
, o denominador
não é zero e dá
, ou seja
.
Portanto todo admite inverso
, de modo que o conjunto dos elementos simetrizáveis é
Portanto todo
Passo 6
Juntando tudo:
-
é associativa e comutativa. - Há elemento neutro
. - Todo elemento de
tem inverso em .
Logo
forma um grupo comutativo, isto é, um grupo abeliano.
Resposta
i)
é associativa, comutativa e o elemento neutro é
.
ii) Todo é simetrizável, com inverso
.
iii) é um grupo abeliano.
ii) Todo
iii)