Para cada operação binária definida sobre o conjunto S dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
S=x in R: x neq-1, square: S times S S dada por xsquare y=x y+x+y

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = x in R: x neq -1
com a operação binária square dada por
x ,square, y = x y + x + y
O que precisamos fazer é:
  1. Verificar se square é associativa, comutativa e achar elemento neutro.
  2. Determinar os elementos que admitem inverso (simetrizáveis).
  3. Concluir se (S,square) é (abeliano) grupo.

Passo 2

Para ver associatividade, calculamos
(x ,square, y),square, z ;=;(x y + x + y),square, z ;=;(x y + x + y)z ;+; (x y + x + y);+;z
=;x y z + x z + y z + x y + x + y + z
e
x,square,(y,square, z) ;=;x,square;(y z + y + z) ;=;x(y z + y + z);+;x;+;(y z + y + z)
=;x y z + x y + x z + x + y z + y + z
Como as somas são iguais, square é associativa.

Passo 3

Note que
x,square,y = x y + x + y = y x + y + x = y,square,x,
logo square é comutativa.

Passo 4

Buscamos ein S tal que x,square,e = x.
x,square,e = x e + x + e = x Longrightarrow x e + e = 0 Longrightarrow e,(x+1)=0
Como xneq -1, temos x+1neq0, logo e=0. Verificamos também
0,square,x = 0cdot x + 0 + x = x,
então 0 é o elemento neutro.

Passo 5

Para achar o inverso de x, resolvemos
x,square,y = 0 Longrightarrow x y + x + y = 0 Longrightarrow y(x+1) = -x Longrightarrow y = -xx+1
Como xneq -1, o denominador x+1 não é zero e dá yneq -1, ou seja yin S.
Portanto todo xin S admite inverso x^-1=-tfracxx+1, de modo que o conjunto dos elementos simetrizáveis é
,xin S = S

Passo 6

Juntando tudo:
  • square é associativa e comutativa.
  • Há elemento neutro 0.
  • Todo elemento de S tem inverso em S.
Logo (S,square) forma um grupo comutativo, isto é, um grupo abeliano.

Resposta

i) square é associativa, comutativa e o elemento neutro é 0.
ii) Todo xin S é simetrizável, com inverso x^-1=-xx+1.
iii) (S,square) é um grupo abeliano.

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