Para cada operação binária definida sobre o conjunto S dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
S=Q+ e De<a: Q+ times Q+ Q+ dada por xDe<a y=x+yx y+1

Passo 1

O enunciado define em S=Q+ a operação binária
De<acolonQ+timesQ+toQ+, xDe<a y=x+yxy+1
O conteúdo é teoria de operações binárias: testar associatividade, comutatividade, existência de elemento neutro, inversos e entender se isso forma um grupo (abeliano).

Passo 2

Verificamos a associatividade calculando (xDe<a y)De<a z e xDe<a(yDe<a z). Primeiro,
xDe<a y=x+yxy+1,
então
(xDe<a y)De<a z =x+yxy+1+z x+yxy+1,z+1 =x+y+z+xyzxy+yz+zx+1
Por outro lado,
yDe<a z=y+zyz+1,
logo
xDe<a(yDe<a z) = x+y+zyz+1 x,y+zyz+1+1 =xyz+x+y+zxy+yz+zx+1
que coincide com (xDe<a y)De<a z. Portanto a operação é associativa.

Passo 3

Como
xDe<a y=x+yxy+1=y+xyx+1=yDe<a x,
a operação é comutativa.

Passo 4

Procuramos einQ+ tal que
xDe<a e=x+exe+1=x forall,xinQ+
Isto obriga x+e=x^2e+x, ou seja (1-x^2)e=0. Para todo xneq1 isso exige e=0, mas 0notinQ+. Logo não existe elemento neutro em Q+.

Passo 5

Um elemento x seria simetrizável se existisse yinQ+ tal que xDe<a y=e. Mas como não há e em Q+, não há nenhum inverso. Assim o conjunto de elementos simetrizáveis é vazio.

Passo 6

Para ser grupo precisamos de associatividade (ok), elemento neutro (não existe) e inversos (não há). Logo l(Q+,De<ar) não é grupo. É, no entanto, uma semigrupo comutativo, mas não abeliano como grupo, pois falta identidade e inversos.

Resposta

i) Associativa: sim. Comutativa: sim. Neutro: não existe em Q+.
ii) Conjunto dos simetrizáveis: varnothing.
iii) Não é grupo (nem abeliano) porque não há elemento neutro nem inversos.

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