Para cada operação binária definida sobre o conjunto
dado a seguir:
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
i) verifique se é associativa; é comutativa; admite elemento neutro;
ii) determine o conjunto dos elementos simetrizáveis;
iii) verifique se cada item tem estrutura de grupo (abeliano).
Passo 1
O enunciado define em
a operação binária
O conteúdo é teoria de operações binárias: testar associatividade, comutatividade, existência de elemento neutro, inversos e entender se isso forma um grupo (abeliano).
Passo 2
Verificamos a associatividade calculando
e
. Primeiro,
então
Por outro lado,
logo
que coincide com
. Portanto a operação é associativa.
Passo 3
Como
a operação é comutativa.
Passo 4
Procuramos
tal que
Isto obriga
, ou seja
. Para todo
isso exige
, mas
. Logo não existe elemento neutro em
.
Passo 5
Um elemento
seria simetrizável se existisse
tal que
. Mas como não há
em
, não há nenhum inverso. Assim o conjunto de elementos simetrizáveis é vazio.
Passo 6
Para ser grupo precisamos de associatividade (ok), elemento neutro (não existe) e inversos (não há). Logo
não é grupo. É, no entanto, uma semigrupo comutativo, mas não abeliano como grupo, pois falta identidade e inversos.
Resposta
i) Associativa: sim. Comutativa: sim. Neutro: não existe em
.
ii) Conjunto dos simetrizáveis: .
iii) Não é grupo (nem abeliano) porque não há elemento neutro nem inversos.
ii) Conjunto dos simetrizáveis:
iii) Não é grupo (nem abeliano) porque não há elemento neutro nem inversos.