Mostre que se V é um espaço vetorial de dimensão finita e W é um subespaço de V, então existe um subespaço U tal que V=U oplus W. Esse U tal que V=U oplus W é único?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se V é um espaço vetorial de dimensão finita e W é um subespaço de V , então existe um subespaço U tal que V = U oplus W . Além disso, precisamos verificar se esse U é único. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como soma direta de subespaços, bases e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa V = U oplus W . Isso quer dizer que cada vetor em V pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de U e um vetor de W , ou seja, V = U + W e U cap W = 0 .

Passo 3

Sabemos que V é de dimensão finita. Vamos chamar a dimensão de V de n e a de W de k . Como W é um subespaço de V , sua dimensão k satisfaz 0 <= k <= n .

Passo 4

Para encontrar U , precisamos que U complemente W em V . Isso significa que a soma das dimensões de U e W deve ser igual à dimensão de V , e a interseção de U e W deve ser apenas o vetor zero.

Passo 5

Vamos pegar uma base para W . Suponha que w1, w2, dots, wk seja uma base de W . Como V tem dimensão n , podemos estender essa base com mais vetores para obter uma base completa de V . Ou seja, existe um conjunto w1, w2, dots, wk, uk+1, dots, un que é uma base de V .

Passo 6

Agora, definimos U como o subespaço gerado pelos vetores uk+1, dots, un . Como adicionamos exatamente n - k vetores à base de W para formar uma base de V , a dimensão de U é n - k .

Passo 7

Vamos ver se V = U oplus W :
  1. Soma dos subespaços: Todo vetor v in V pode ser escrito como uma combinação linear de w1, dots, wk, uk+1, dots, un , ou seja, v = w + u , onde w in W e u in U .
  2. Interseção trivial: Se v in U cap W , então v pode ser escrito tanto como uma combinação de U quanto de W . A única possibilidade é v = 0 , já que a base é única.

Passo 8

Portanto, encontramos um subespaço U tal que V = U oplus W .

Passo 9

Agora, vamos verificar se esse U é único. Suponha que existam dois subespaços U e U' onde V = U oplus W e V = U' oplus W .

Passo 10

Se U neq U' , então existem vetores em U que não estão em U' e vice-versa. Mas isso gera uma contradição, já que a decomposição seria única devido à interseção trivial. Portanto, U deve ser único.

Resposta

Sim, existe um subespaço U tal que V = U oplus W e esse subespaço U é único.

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