Mostre que se
é um espaço vetorial de dimensão finita e
é um subespaço de
, então existe um subespaço
tal que
. Esse
tal que
é único?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, se
é um espaço vetorial de dimensão finita e
é um subespaço de
, então existe um subespaço
tal que
. Além disso, precisamos verificar se esse
é único. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como soma direta de subespaços, bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que cada vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
, ou seja,
e
.
Passo 3
Sabemos que
é de dimensão finita. Vamos chamar a dimensão de
de
e a de
de
. Como
é um subespaço de
, sua dimensão
satisfaz
.
Passo 4
Para encontrar
, precisamos que
complemente
em
. Isso significa que a soma das dimensões de
e
deve ser igual à dimensão de
, e a interseção de
e
deve ser apenas o vetor zero.
Passo 5
Vamos pegar uma base para
. Suponha que
seja uma base de
. Como
tem dimensão
, podemos estender essa base com mais vetores para obter uma base completa de
. Ou seja, existe um conjunto
que é uma base de
.
Passo 6
Agora, definimos
como o subespaço gerado pelos vetores
. Como adicionamos exatamente
vetores à base de
para formar uma base de
, a dimensão de
é
.
Passo 7
Vamos ver se
:
-
Soma dos subespaços: Todo vetor
pode ser escrito como uma combinação linear de , ou seja, , onde e . -
Interseção trivial: Se
, então pode ser escrito tanto como uma combinação de quanto de . A única possibilidade é , já que a base é única.
Passo 8
Portanto, encontramos um subespaço
tal que
.
Passo 9
Agora, vamos verificar se esse
é único. Suponha que existam dois subespaços
e
onde
e
.
Passo 10
Se
, então existem vetores em
que não estão em
e vice-versa. Mas isso gera uma contradição, já que a decomposição seria única devido à interseção trivial. Portanto,
deve ser único.
Resposta
Sim, existe um subespaço
tal que
e esse subespaço
é único.