Mostrar que o subconjunto
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições que definem um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas: se o vetor zero está em
, se
é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
:
Isso é verdade, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
e os adicionarmos, o resultado também deve estar em
.
Sejam
e
dois vetores em
. Isso significa que:
Vamos adicionar esses vetores:
Assim, o vetor resultante também satisfaz
, ou seja, está em
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalares. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor em
por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
.
Seja
um vetor em
, então
. Vamos multiplicar esse vetor por um escalar
:
O vetor resultante também satisfaz
, portanto está em
.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares, concluímos que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.