Mostrar que o subconjunto S=(x, y) in R^2 / y=5 x é um subespaço vetorial de R^2.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto S = (x, y) in R^2 mid y = 5x é um subespaço vetorial de R^2 . Para resolver isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as condições que definem um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas: se o vetor zero está em S , se S é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em S . O vetor zero em R^2 é (0, 0) . Substituindo na equação y = 5x :
0 = 5 times 0 implies 0 = 0
Isso é verdade, então o vetor zero está em S .

Passo 3

Agora, vamos ver se S é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em S e os adicionarmos, o resultado também deve estar em S .
Sejam (x1, y1) e (x2, y2) dois vetores em S . Isso significa que:
y1 = 5x1 e y2 = 5x2
Vamos adicionar esses vetores:
(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, 5x1 + 5x2) = (x1 + x2, 5(x1 + x2))
Assim, o vetor resultante também satisfaz y = 5x , ou seja, está em S .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se S é fechado sob multiplicação por escalares. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor em S por um número real qualquer, o resultado também deve estar em S .
Seja (x, y) um vetor em S , então y = 5x . Vamos multiplicar esse vetor por um escalar c :
(c cdot x, c cdot y) = (c cdot x, c cdot 5x) = (c cdot x, 5(c cdot x))
O vetor resultante também satisfaz y = 5x , portanto está em S .

Resposta

Como o conjunto S contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalares, concluímos que S é, de fato, um subespaço vetorial de R^2 .

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