Para cada operador linear abaixo, calcule o polinômio característico, polinômio minimal, os autovalores e os autovetores, encontre base e a dimensão de cada autoespaço. Em seguida, determine se o operador é diagonalizável. Em caso afirmativo, exiba uma base formada por autovetores e escreva a matriz desse operador nessa base.
e) dado por
Passo 1
O enunciado dá o operador linear definido por
e pede:
– polinômio característico ,
– polinômio minimal ,
– autovalores e autovetores,
– base e dimensão de cada autoespaço,
– testar diagonalizabilidade e, se sim, exibir uma base de autovetores e a matriz de nessa base.
Para resolver, vamos montar a matriz de na base canônica, calcular via determinante, fatorar, achar autovetores resolvendo , determinar e verificar se há três autovetores independentes (condição de diagonalizabilidade).
Os autovalores são as raízes de chiT: lambda=-2 com multiplicidade algébrica 2 e lambda=4 com multiplicidade algébrica 1.
Passo 4
Para resolvemos :
Logo o autoespaço é
de dimensão .
Para resolvemos :
Assim
de dimensão .
Passo 5
Como para cada autovalor a dimensão do autoespaço coincide com sua multiplicidade algébrica e chiT se separa em raízes simples sobre R, T é diagonalizável. O polinômio minimal é o produto dos fatores lineares distintos:
mT(lambda)=(lambda+2)(lambda-4)
Passo 6
Uma base de autovetores é
B=l,v1=(1,1,0),;v2=(0,1,1),;v3=(1,1,2)r,
onde v1,v2 correspondem a lambda=-2 e v3 a lambda=4. Na base B, a matriz de T é diagonal: