Para cada operador linear abaixo, calcule o polinômio característico, polinômio minimal, os autovalores e os autovetores, encontre base e a dimensão de cada autoespaço. Em seguida, determine se o operador é diagonalizável. Em caso afirmativo, exiba uma base formada por autovetores e escreva a matriz desse operador nessa base.
e) T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(x-3 y+3 z, 3 x-5 y+3 z, 6 x-6 y+4 z)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (x-3y+3z,;3x-5y+3z,;6x-6y+4z)
e pede:
– polinômio característico chiT(lambda),
– polinômio minimal mT(lambda),
– autovalores e autovetores,
– base e dimensão de cada autoespaço,
– testar diagonalizabilidade e, se sim, exibir uma base de autovetores e a matriz de T nessa base.
Para resolver, vamos montar a matriz de T na base canônica, calcular chiT via determinante, fatorar, achar autovetores resolvendo (A-lambda I)v=0, determinar mT e verificar se há três autovetores independentes (condição de diagonalizabilidade).

Passo 2

Na base canônica a matriz de T é
A = 1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4
O polinômio característico é
chiT(lambda)=det(A - lambda I) =det 1-lambda & -3 & 3 3 & -5-lambda & 3 6 & -6 & 4-lambda =lambda^3 -12lambda -16
Fatorando, encontra-se
chiT(lambda)=(lambda+2)^2(lambda-4)

Passo 3

Os autovalores são as raízes de chiT:
lambda=-2 com multiplicidade algébrica 2 e lambda=4 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Para resolvemos :
Logo o autoespaço é
de dimensão .
Para resolvemos :
Assim
de dimensão .

Passo 5

Como para cada autovalor a dimensão do autoespaço coincide com sua multiplicidade algébrica e chiT se separa em raízes simples sobre R, T é diagonalizável. O polinômio minimal é o produto dos fatores lineares distintos:
mT(lambda)=(lambda+2)(lambda-4)

Passo 6

Uma base de autovetores é
B=l,v1=(1,1,0),;v2=(0,1,1),;v3=(1,1,2)r,
onde v1,v2 correspondem a lambda=-2 e v3 a lambda=4. Na base B, a matriz de T é diagonal:
[T]B = -2 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 4

Resposta

Polinômio característico:
chiT(lambda)=(lambda+2)^2(lambda-4)
Polinômio minimal:
mT(lambda)=(lambda+2)(lambda-4)
Autovalores: lambda=-2 (mult. alg. 2), lambda=4 (mult. alg. 1).
Autoespaços:
E-2=span(1,1,0),(0,1,1), dim E-2=2; E4=span(1,1,2), dim E4=1
T é diagonalizável. Autobase:
(1,1,0),(0,1,1),(1,1,2).
Matriz em tal base:
-2 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & 4

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