Para cada operador linear abaixo, calcule o polinômio característico, polinômio minimal, os autovalores e os autovetores, encontre base e a dimensão de cada autoespaço. Em seguida, determine se o operador é diagonalizável. Em caso afirmativo, exiba uma base formada por autovetores e escreva a matriz desse operador nessa base.
f) dado por
Passo 1
O enunciado define o operador linear dado por
Queremos calcular o polinômio característico de , o polinômio minimal, os autovalores, os autovetores, as bases e dimensões dos autoespaços, e verificar se é diagonalizável. Para isso usaremos a matriz de na base canônica, encontraremos , depois resolveremos para cada .
Dos fatores lambda(lambda-4)(lambda+2) obtemos os autovalores
lambda1=0, lambda2=4, lambda3=-2
Como todos são de multiplicidade algébrica 1, o polinômio minimal de T é
mT(lambda)=lambda(lambda-4)(lambda+2),
iguais aos fatores lineares, e a multiplicidade geométrica de cada autovalor será também 1.
Passo 4
Para
dá , logo . Tomando ficamos com o autovetor
O autoespaço tem dimensão .
Passo 5
Para
implica . Tomando obtemos
O autoespaço tem dimensão .
Passo 6
Para
leva a . Tomando obtemos e , isto é
O autoespaço tem dimensão .
Passo 7
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+1+1=3=dimR^3, T é diagonalizável. Uma base de autovetores é
,v1=(3,-3,2),;v2=(1,-1,0),;v3=(10,-4,3),
e a matriz de T nessa base é diagonal com as entradas iguais aos autovalores, ou seja,
[T]v1,v2,v3 = 0&0&0 0&4&0 0&0&-2
Resposta
Polinômio característico: lambda(lambda-4)(lambda+2)
Polinômio minimal: lambda(lambda-4)(lambda+2)
Autovalores: 0,4,-2
Autovetores e dimensões dos autoespaços: lambda=0: v1=(3,-3,2), dim E0=1 lambda=4: v2=(1,-1,0), dim E4=1 lambda=-2: v3=(10,-4,3), dim E-2=1 T é diagonalizável, base de autovetores v1,v2,v3, matriz na base = diag(0,4,-2).