Para cada operador linear abaixo, calcule o polinômio característico, polinômio minimal, os autovalores e os autovetores, encontre base e a dimensão de cada autoespaço. Em seguida, determine se o operador é diagonalizável. Em caso afirmativo, exiba uma base formada por autovetores e escreva a matriz desse operador nessa base.
f) T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(-3 x-7 y-6 z, x+5 y+6 z,-x-y)

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:R^3toR^3 dado por
T(x,y,z)=(-3x-7y-6z,;x+5y+6z,;-x-y+0cdot z)
Queremos calcular o polinômio característico de T, o polinômio minimal, os autovalores, os autovetores, as bases e dimensões dos autoespaços, e verificar se T é diagonalizável. Para isso usaremos a matriz de T na base canônica, encontraremos det(A-lambda I), depois resolveremos (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = -3 & -7 & -6 1 & 5 & 6 -1 & -1 & 0
O polinômio característico é
det(A - lambda I) =det -3-lambda & -7 & -6 1 & 5-lambda & 6 -1 & -1 & -lambda
Fazendo a expansão, chega-se a
det(A-lambda I) =lambda(lambda-4)(lambda+2)

Passo 3

Dos fatores lambda(lambda-4)(lambda+2) obtemos os autovalores
lambda1=0, lambda2=4, lambda3=-2
Como todos são de multiplicidade algébrica 1, o polinômio minimal de T é
mT(lambda)=lambda(lambda-4)(lambda+2),
iguais aos fatores lineares, e a multiplicidade geométrica de cada autovalor será também 1.

Passo 4

Para
, logo . Tomando ficamos com o autovetor
O autoespaço tem dimensão .

Passo 5

Para
implica . Tomando obtemos
O autoespaço tem dimensão .

Passo 6

Para
leva a . Tomando obtemos e , isto é
O autoespaço tem dimensão .

Passo 7

Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+1+1=3=dimR^3, T é diagonalizável. Uma base de autovetores é
,v1=(3,-3,2),;v2=(1,-1,0),;v3=(10,-4,3),
e a matriz de T nessa base é diagonal com as entradas iguais aos autovalores, ou seja,
[T]v1,v2,v3 = 0&0&0 0&4&0 0&0&-2

Resposta

Polinômio característico: lambda(lambda-4)(lambda+2)
Polinômio minimal: lambda(lambda-4)(lambda+2)
Autovalores: 0,4,-2
Autovetores e dimensões dos autoespaços:
lambda=0: v1=(3,-3,2), dim E0=1 lambda=4: v2=(1,-1,0), dim E4=1 lambda=-2: v3=(10,-4,3), dim E-2=1 T é diagonalizável, base de autovetores v1,v2,v3, matriz na base = diag(0,4,-2).

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