Encontre os autovalores e autovetores correspondentes da matriz A. Determine uma base e a dimensão de cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre uma base formada por autovetores e construa a matriz do operador A em relação à esta base.
c) A=[rrr4 & 1 & -1 2 & 5 & -2 1 & 1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da matriz
A= 4 & 1 & -1 2 & 5 & -2 1 & 1 & 2 ,
depois determinar para cada autovalor a base e a dimensão do autoespaço, verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, dar uma base de autovetores que diagonaliza A e escrever a matriz de A nessa nova base. Vamos usar o polinômio característico chi(lambda)=det(A-lambda I) e resolver (A-lambda I)x=0.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico.
A-lambda I = 4-lambda & 1 & -1 2 & 5-lambda & -2 1 & 1 & 2-lambda
Expandindo pelo primeiro linha, chega-se a
chi(lambda)=det(A-lambda I) =-lambda^3+11lambda^2-39lambda+45,
ou seja
chi(lambda)=-(lambda^3-11lambda^2+39lambda-45)

Passo 3

Fatoramos chi(lambda). Testando lambda=3 vemos que é raiz dupla e lambda=5 é raiz simples. De fato
chi(lambda)=-(lambda-3)^2(lambda-5)
Logo os autovalores são
lambda1=3(mu< alg=2), lambda2=5(mu< alg=1)

Passo 4

Encontramos o autoespaço para
Só há uma equação independente . Da equação obtemos
Uma base de é, por exemplo,

Passo 5

Para
Da segunda equação . Logo e
Tomamos como base de o vetor

Passo 6

Como a soma das dimensões dos autoespaços é 2+1=3, igual à ordem da matriz, A é diagonalizável. Uma base de Bbb R^3 formada por autovetores é
,v1,,v2,,v3 =,(-1,1,0),,(1,0,1),,(1,2,1)
Na ordem v1,v2,v3, a matriz de A é diagonal
D = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5

Resposta

Autovalores e autoespaços:
lambda=3 (mult. alg. =2), dim E3=2, base (-1,1,0),(1,0,1).
lambda=5 (mult. alg. =1), dim E5=1, base (1,2,1).
A é diagonalizável.
Base de autovetores que diagonaliza:
(-1,1,0),,(1,0,1),,(1,2,1).
Matriz de A nessa base:
3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5

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