Para quais valores de k as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
a) [ll1 & 1 0 & k]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 1 [6pt] 0 & k
e pede para quais valores de k ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar que uma matriz quadrada é diagonalizável se, para cada autovalor, a dimensão do autespaço (geometric multiplicity) é igual à multiplicidade algébrica, e em particular é sempre diagonalizável quando os autovalores são distintos.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!1-lambda & 1 [3pt] 0 & k-lambda = (1-lambda),(k-lambda)
Logo os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = k

Passo 3

Se k neq 1, então lambda1 neq lambda2. Matrizes 2times2 com autovalores distintos são sempre diagonalizáveis, pois geram dois autovetores linearmente independentes.

Passo 4

Se k = 1, então ambos os autovalores coincidem em lambda=1 com multiplicidade algébrica 2. Nesse caso
A = 1 & 1 [3pt] 0 & 1,
e o autespaço é dado por
(A - I)x = 0 Longrightarrow 0 & 1 [3pt] 0 & 0 x1 [3pt] x2 = 0 [3pt] 0 ;Rightarrow; x2=0
Isso gera apenas vetores da forma l(x1,0r)^T, ou seja, um autespaço de dimensão 1, menor que 2, logo não é diagonalizável.

Resposta

A matriz é diagonalizável se, e somente se, k neq 1.

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