Encontre os autovalores e autovetores correspondentes da matriz A. Determine uma base e a dimensão de cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre uma base formada por autovetores e construa a matriz do operador A em relação à esta base.
а) A=[rrr3 & -3 & 0 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da matriz
A= 3 & -3 & 0 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 ,
de modo a determinar uma base e a dimensão de cada autoespaço, e então verificar se A é diagonalizável.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo, os autovalores são
lambda1=3(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2=-1(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 3

Para resolvemos
Dessas equações tiramos
e fica livre. Assim o autoespaço é
de dimensão , com base por exemplo .

Passo 4

Para resolvemos
Das duas primeiras linhas vem
Escolhendo para ficar inteiro, obtemos
Multiplicando por para simplificar, um autovetor é
Logo
de dimensão .

Passo 5

Somando as dimensões dos autoespaços obtivemos 1+1=2, mas A é 3times3.
Como a soma das dimensões dos autoespaços é menor que 3, concluímos que A não é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e autoespaços:
lambda=3, multiplicidade algébrica 2, autoespaço de dimensão 1 com base (1,0,0).
lambda=-1, multiplicidade algébrica 1, autoespaço de dimensão 1 com base (-15,-20,16).
A matriz A não é diagonalizável, pois não há três autovetores independentes.

Exercícios relacionados