Encontre os autovalores e autovetores correspondentes da matriz . Determine uma base e a dimensão de cada autoespaço. A matriz é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre uma base formada por autovetores e construa a matriz do operador em relação à esta base.
а)
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os autovalores e autovetores da matriz
A= 3 & -3 & 0 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 ,
de modo a determinar uma base e a dimensão de cada autoespaço, e então verificar se A é diagonalizável.
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo, os autovalores são
Multiplicando por para simplificar, um autovetor é
Logo
de dimensão .
Passo 5
Somando as dimensões dos autoespaços obtivemos 1+1=2, mas A é 3times3.
Como a soma das dimensões dos autoespaços é menor que 3, concluímos que Anão é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e autoespaços: lambda=3, multiplicidade algébrica 2, autoespaço de dimensão 1 com base (1,0,0). lambda=-1, multiplicidade algébrica 1, autoespaço de dimensão 1 com base (-15,-20,16).
A matriz Anão é diagonalizável, pois não há três autovetores independentes.