Para quais valores de k as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
b) [ll1 & k 0 & 1]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & k 0 & 1
e pergunta para quais valores de k ela é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matrizes: precisamos estudar os autovalores e as dimensões dos espaços próprios (multiplicidades algébrica e geométrica).

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A.
det(A - lambda I) = det1-lambda & k 0 & 1-lambda = (1-lambda)^2

Passo 3

O polinômio (1-lambda)^2 mostra que há um único autovalor
lambda = 1
com multiplicidade algébrica igual a 2. Para que A seja diagonalizável, a multiplicidade geométrica de lambda=1 deve ser também 2, ou seja, o espaço próprio associado deve ter dimensão 2.

Passo 4

Encontramos o espaço próprio resolvendo
A única condição é (k,x_2 = 0].

Passo 5

Se k neq 0, então x2 = 0 e x1 é livre, de modo que o espaço próprio tem dimensão 1 (apenas vetores múltiplos de (1,0)). Assim a multiplicidade geométrica é 1 e a matriz não é diagonalizável.
Se k = 0, então A = I e qualquer vetor é autovetor de valor próprio 1, de modo que o espaço próprio tem dimensão 2 e a matriz é diagonalizável (é a própria matriz identidade).

Resposta

A matriz é diagonalizável somente para k = 0.

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