Para cada operador linear L abaixo, decida se ele é diagonalizável. Caso L seja diagonalizável, encontre uma base que o diagonaliza: L: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, L\left(\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}3 x_{1} \\\\ -2 x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3} \\\\ -2 x_{1}+x_{2}+5 x_{3}\end{array}\right].
Queremos decidir se L é diagonalizável. Para isso precisamos encontrar os autovalores (soluções de \det(A-\lambda I)=0) e os autovetores, verificando se obtemos três vetores próprios independentes.
Passo 2
Escrevemos a matriz de L na base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\}:
Como obtemos três autovetores independentes v_{1},v_{2},v_{3}, sendo dois para \lambda=3 e um para \lambda=6, concluímos que L é diagonalizável. A base que diagonaliza L é