Seja L: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} um operador linear que tem \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2 e \lambda_{3}=3 como autovalores e cujos autoespaços correspondentes são
\begin{aligned} V_{\lambda_{1}} & =\operatorname{ger}\left[\mathbf{v}_{1}\right], \\\ V_{\lambda_{2}} & =\operatorname{ger}\left[\mathbf{v}_{2}\right], \\\ V_{\lambda_{3}} & =\operatorname{ger}\left[\mathbf{v}_{3}, \mathbf{v}_{4}\right], \end{aligned}
onde \mathbf{v}_{1}=(1,1,1,1)^{\top}, \mathbf{v}_{2}=(0,1,1,1)^{\top}, \mathbf{v}_{3}=(0,0,1,1)^{\top}, \mathbf{v}_{4}=(0,0,0,1)^{\top}.
(a) L é diagonalizável?
(b) Encontre a matriz A tal que L=L_{A}.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear L:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} cujos autovalores são
\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3 e cujos autoespaços têm dimensões
\dim V_{\lambda_{1}}=1, \dim V_{\lambda_{2}}=1, \dim V_{\lambda_{3}}=2.
O conteúdo aqui é diagonalização de operadores lineares e mudança de base para obter a matriz em relação à base canônica.

Passo 2

Um operador linear em \mathbb{R}^{n} é diagonalizável se a soma das dimensões dos autoespaços for n. Aqui
\dim V_{\lambda_{1}}+\dim V_{\lambda_{2}}+\dim V_{\lambda_{3}} =1+1+2=4,
que é exatamente a dimensão do espaço. Logo, L é diagonalizável.

Passo 3

Para obter a matriz A de L na base canônica, construímos a matriz de passagem P cujas colunas são os autovetores \mathbf v_{1},\mathbf v_{2},\mathbf v_{3},\mathbf v_{4}:
P=\bigl[\mathbf v_{1}\;\mathbf v_{2}\;\mathbf v_{3}\;\mathbf v_{4}\bigr] =\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 1&1&0&0\\\\ 1&1&1&0\\\\ 1&1&1&1 \end{pmatrix}.
O autovalor 1 aparece uma vez, 2 aparece uma vez e 3 aparece duas vezes, então definimos
D=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 0&2&0&0\\\\ 0&0&3&0\\\\ 0&0&0&3 \end{pmatrix}.
Invertendo P (é triangular com 1s na diagonal), obtemos
P^{-1}= \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ -1&1&0&0\\\\ 0&-1&1&0\\\\ 0&0&-1&1 \end{pmatrix}.
Como L é diagonalizável, a matriz buscada na base canônica é
A \;=\; P\,D\,P^{-1}.
Fazendo a multiplicação, chega-se a
A = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ -1&2&0&0\\\\ -1&-1&3&0\\\\ -1&-1&0&3 \end{pmatrix},
que satisfaz A\,\mathbf v_{i}=\lambda_{i}\mathbf v_{i} para i=1,2,3,4.

Resposta

(a) Sim, L é diagonalizável.
(b) Em relação à base canônica,
A = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ -1&2&0&0\\\\ -1&-1&3&0\\\\ -1&-1&0&3 \end{pmatrix}.

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