Seja L: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} um operador linear que tem \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2 e \lambda_{3}=3 como autovalores e cujos autoespaços correspondentes são
onde \mathbf{v}_{1}=(1,1,1,1)^{\top}, \mathbf{v}_{2}=(0,1,1,1)^{\top}, \mathbf{v}_{3}=(0,0,1,1)^{\top}, \mathbf{v}_{4}=(0,0,0,1)^{\top}.
(a) L é diagonalizável?
(b) Encontre a matriz A tal que L=L_{A}.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear L:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4} cujos autovalores são \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3 e cujos autoespaços têm dimensões \dim V_{\lambda_{1}}=1, \dim V_{\lambda_{2}}=1, \dim V_{\lambda_{3}}=2.
O conteúdo aqui é diagonalização de operadores lineares e mudança de base para obter a matriz em relação à base canônica.
Passo 2
Um operador linear em \mathbb{R}^{n} é diagonalizável se a soma das dimensões dos autoespaços for n. Aqui
que é exatamente a dimensão do espaço. Logo, L é diagonalizável.
Passo 3
Para obter a matriz A de L na base canônica, construímos a matriz de passagem P cujas colunas são os autovetores \mathbf v_{1},\mathbf v_{2},\mathbf v_{3},\mathbf v_{4}: