Considere os operadores de reflexão
, onde
é o plano de equação
e
é o plano de equação
. Verifique que
é autovalor do operador linear
dado pela composição
. (Dica: Não é necessário fazer conta alguma!)
Passo 1
O enunciado define em
dois operadores de reflexão
em relação ao plano
e
em relação ao plano
Queremos mostrar que
é autovalor da composição
O conteúdo envolvido é a propriedade de reflexões: uma reflexão fixa ponto-a-ponto todos os vetores que estão contidos no seu plano.
Passo 2
Recordamos que, se
é um subespaço hipervolumétrico (no nosso caso um plano em
), então para todo vetor
vale
Ou seja, uma reflexão em um plano deixa inalterados todos os vetores desse plano.
Passo 3
Como
e
são dois planos distintos em
, a interseção
é uma reta não trivial. Sejam
em
. Então
pertence simultaneamente a
e a
.
Passo 4
Para esse vetor
temos
Logo,
Isso mostra que
é autovetor de
associado ao autovalor
.
Resposta
A composição
fixa todo vetor em
, logo
é autovalor de
.