Considere os operadores de reflexão \operatorname{Ref}_{W}, \operatorname{Ref}_{U}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, onde W é o plano de equação 2 x-y+z=0 e U é o plano de equação 3 x+y+3 z=0. Verifique que \lambda=1 é autovalor do operador linear L dado pela composição L=\operatorname{Ref}_{W} \circ \operatorname{Ref}_{U}. (Dica: Não é necessário fazer conta alguma!)

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^3 dois operadores de reflexão \operatorname{Ref}_{U} em relação ao plano
U:3x+y+3z=0
e \operatorname{Ref}_{W} em relação ao plano
W:2x-y+z=0.
Queremos mostrar que 1 é autovalor da composição
L = \operatorname{Ref}_{W}\circ \operatorname{Ref}_{U}.
O conteúdo envolvido é a propriedade de reflexões: uma reflexão fixa ponto-a-ponto todos os vetores que estão contidos no seu plano.

Passo 2

Recordamos que, se V\subset\mathbb{R}^n é um subespaço hipervolumétrico (no nosso caso um plano em \mathbb{R}^3), então para todo vetor v\in V vale
\operatorname{Ref}_{V}(v)=v.
Ou seja, uma reflexão em um plano deixa inalterados todos os vetores desse plano.

Passo 3

Como U e W são dois planos distintos em \mathbb{R}^3, a interseção U\cap W é uma reta não trivial. Sejam v\neq0 em U\cap W. Então v pertence simultaneamente a U e a W.

Passo 4

Para esse vetor v\in U\cap W temos
\operatorname{Ref}_{U}(v)=v \quad\text{e}\quad \operatorname{Ref}_{W}(v)=v.
Logo,
L(v) =\bigl(\operatorname{Ref}_{W}\circ \operatorname{Ref}_{U}\bigr)(v) =\operatorname{Ref}_{W}\bigl(\operatorname{Ref}_{U}(v)\bigr) =\operatorname{Ref}_{W}(v) =v.
Isso mostra que v é autovetor de L associado ao autovalor 1.

Resposta

A composição L=\operatorname{Ref}_{W}\circ \operatorname{Ref}_{U} fixa todo vetor em U\cap W, logo 1 é autovalor de L.

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