Prove que dada uma matriz
:
0 é um autovalor de
se, e somente se,
é singular (não inversível).
0 é um autovalor de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz real quadrada
, o número zero é um autovalor de
se, e somente se,
não for inversível (ou seja, for singular). O conteúdo envolve definições de autovalor, núcleo (kernel) de uma transformação linear e condição de invertibilidade de uma matriz em termos de determinante ou injetividade.
Passo 2
Definição de autovalor: dizemos que
é autovalor de
se existir um vetor não-nulo
tal que
No caso
, isso vira
com
. Logo, ter zero como autovalor já garante a existência de um vetor não-nulo em
, mostrando que o núcleo de
não é trivial.
Passo 3
Uma matriz de ordem finita é inversível se, e somente se, seu núcleo for trivial (apenas o vetor zero) ou, equivalentemente, se
. Quando
contém um vetor não-nulo,
falha em ser injetora e, portanto, não tem inversa. Isso prova a implicação:
Passo 4
Se
é singular, então
. Sabemos também que
é autovalor de
se, e somente se,
. Colocando
, obtemos
logo
é raiz do polinômio característico de
, isto é,
é autovalor. Isso estabelece a outra direção:
Resposta
Concluímos que
é valor próprio de
se, e somente se,
for singular.