Prove que dada uma matriz A in Mn(R) :
0 é um autovalor de A se, e somente se, A é singular (não inversível).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz real quadrada A, o número zero é um autovalor de A se, e somente se, A não for inversível (ou seja, for singular). O conteúdo envolve definições de autovalor, núcleo (kernel) de uma transformação linear e condição de invertibilidade de uma matriz em termos de determinante ou injetividade.

Passo 2

Definição de autovalor: dizemos que lambda é autovalor de A se existir um vetor não-nulo vinR^n tal que A v = lambda vNo caso lambda=0, isso vira A v = 0,com vneq0. Logo, ter zero como autovalor já garante a existência de um vetor não-nulo em ker(A), mostrando que o núcleo de A não é trivial.

Passo 3

Uma matriz de ordem finita é inversível se, e somente se, seu núcleo for trivial (apenas o vetor zero) ou, equivalentemente, se det(A)neq0. Quando ker(A) contém um vetor não-nulo, A falha em ser injetora e, portanto, não tem inversa. Isso prova a implicação: 0 é autovalor de A Longrightarrow A é singularéé

Passo 4

Se A é singular, então det(A)=0. Sabemos também que lambda é autovalor de A se, e somente se, det(A-lambda I)=0. Colocando lambda=0, obtemos det(A-0,I)=det(A)=0,logo 0 é raiz do polinômio característico de A, isto é, 0 é autovalor. Isso estabelece a outra direção: A singular Longrightarrow 0 é autovalor de Aé

Resposta

Concluímos que 0 é valor próprio de A se, e somente se, A for singular.

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