Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o núcleo e a imagem, cheque o resultado do teorema do núcleo e da imagem e determine se
é bijetora.
, dado por
.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear
, definido por
Precisamos encontrar bases de
e de
, verificar o teorema da dimensão
e dizer se
é bijetora.
Passo 2
Para achar
Daí .
Passo 3
Como
e
, qualquer vetor do núcleo é da forma
. Logo
e assim
.
Passo 4
Para a imagem, note que
Como
e
são linearmente independentes, temos
e portanto
. Uma base mais usual é
.
Passo 5
Checando o teorema da dimensão:
como era de se esperar.
Passo 6
Vemos que
, logo
não é injetora. Por outro lado
, então
é sobrejetora. Concluímos que
não é bijetora.
Resposta
(a)
(b) com base, por exemplo,
(c) ,
e
.
(d) não é bijetora (é sobrejetora, mas não injetora).
(b)
(c)
(d)