Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o núcleo e a imagem, cheque o resultado do teorema do núcleo e da imagem e determine se T é bijetora.
T: R^3 R^2, dado por T(a, b, c)=(a-b, 2 c).

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear Tcolon R^3 to R^2, definido por
T(a,b,c)=(a-b,,2c)
Precisamos encontrar bases de ker T e de Im,T, verificar o teorema da dimensão
dimker T + dimIm,T = dimR^3 = 3
e dizer se T é bijetora.

Passo 2

Para achar
Daí .

Passo 3

Como a=b e c=0, qualquer vetor do núcleo é da forma (t,t,0). Logo
ker T = (t,t,0)mid tinR = span(1,1,0),
e assim dimker T = 1.

Passo 4

Para a imagem, note que
T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(-1,0), T(0,0,1)=(0,2)
Como (1,0) e (0,2) são linearmente independentes, temos
Im,T = span(1,0),(0,2) = R^2,
e portanto dimIm,T=2. Uma base mais usual é (1,0),(0,1).

Passo 5

Checando o teorema da dimensão:
dimker T + dimIm,T = 1 + 2 = 3 = dimR^3,
como era de se esperar.

Passo 6

Vemos que ker Tneq0, logo T não é injetora. Por outro lado Im,T=R^2, então T é sobrejetora. Concluímos que T não é bijetora.

Resposta

(a) ker T = span(1,1,0)
(b) Im,T = R^2 com base, por exemplo, (1,0),(0,1)
(c) dimker T = 1, dimIm,T = 2 e 1+2=3.
(d) T não é bijetora (é sobrejetora, mas não injetora).

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