Considere a aplicação
definida por
. Verifique em quais casos
é linear para:
.
Passo 1
O enunciado define
por
Queremos verificar para quais escolhas de
—
,
,
,
— a transformação
é linear. Para isso, vamos usar o critério de que
é linear se, e somente se, pode ser escrita como
para alguma matriz constante
, sem termo constante.
Passo 2
Escrevendo
como soma de parte homogênea e termo constante, temos
Para que
seja linear, o vetor constante
deve ser
e
deve ser constante (independente de
). Logo, é necessário e suficiente ter
.
Passo 3
Analisando cada caso:
- Se
, então não é constante e o termo constante é , logo não é linear. - Se
, então o termo constante é e é constante, portanto é linear. - Se
, é constante mas o termo constante é , logo não é homogênea e não é linear. - Se
, não é constante e o termo constante é , logo não é linear.
Resposta
A transformação
é linear somente quando
.