Considere a aplicação T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(x+k y, x+k, y). Verifique em quais casos T é linear para: k=x, k=0, k=1, k=y.

Passo 1

O enunciado define
por
Queremos verificar para quais escolhas de , , , — a transformação é linear. Para isso, vamos usar o critério de que é linear se, e somente se, pode ser escrita como
para alguma matriz constante , sem termo constante.

Passo 2

Escrevendo como soma de parte homogênea e termo constante, temos
Para que seja linear, o vetor constante deve ser e deve ser constante (independente de ). Logo, é necessário e suficiente ter .

Passo 3

Analisando cada caso:
  • Se k=x, então k não é constante e o termo constante é (0,x,0), logo não é linear.
  • Se k=0, então o termo constante é (0,0,0) e k é constante, portanto T é linear.
  • Se k=1, k é constante mas o termo constante é (0,1,0)neq(0,0,0), logo T não é homogênea e não é linear.
  • Se k=y, k não é constante e o termo constante é (0,y,0), logo não é linear.

Resposta

A transformação T é linear somente quando k=0.

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