Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o núcleo e a imagem, cheque o resultado do teorema do núcleo e da imagem e determine se é bijetora. , dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente analisar um operador linear T que vai de matrizes 2 times 3 para matrizes 2 times 2 . Precisamos encontrar as bases do núcleo e da imagem desse operador, verificar o teorema do núcleo e da imagem, e descobrir se T é bijetora. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaço vetorial, transformação linear, núcleo, imagem, e as propriedades de injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o operador T atua nas matrizes 2 times 3 . Ele pega uma matriz
a & b & c d & e & f
e mapeia para uma matriz 2 times 2 dada por
T( a & b & c d & e & f ) = 2a - b & c + 2b 0 & 0
Passo 3
Vamos encontrar a imagem de T , ou seja, todos os possíveis valores que T pode produzir. Observando a matriz resultante, vemos que a segunda linha é sempre zero. Então, a imagem será o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 onde apenas a primeira linha pode variar. Especificamente, qualquer matriz da forma
x & y 0 & 0
onde x e y são números reais.
Passo 4
Agora, encontramos uma base para a imagem de T . Observando que x e y podem ser quaisquer números reais independentes, podemos escolher duas matrizes que geram todos os possíveis resultados:
1 & 0 0 & 0 e 0 & 1 0 & 0
Essas duas matrizes são linearmente independentes e qualquer matriz na imagem pode ser escrita como uma combinação linear delas. Portanto, a base da imagem de T é:
1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0
Passo 5
Agora, vamos achar o núcleo de T , ou seja, todas as matrizes 2 times 3 que são mapeadas para a matriz zero. Isso significa resolver:
T( a & b & c d & e & f ) = 2a - b & c + 2b 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá o sistema de equações:
2a - b = 0 c + 2b = 0
Passo 6
Resolvendo o sistema:
2a - b = 0 Rightarrow b = 2a
c + 2b = 0 Rightarrow c = -2b = -4a
As variáveis a, d, e, f são livres. Então, podemos expressar as soluções em termos dessas variáveis:
a & 2a & -4a d & e & f = a 1 & 2 & -4 0 & 0 & 0 + d 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 + e 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 + f 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Vamos checar o teorema do núcleo e da imagem, que diz:
dim Domínio = dim Núc<=o + dim Ima>=m íú
Aqui, o domínio M2 times 3(R) tem dimensão 6 (porque são 6 entradas). O núcleo tem dimensão 4 (cinco vetores, na verdade, mas na nossa base temos 4 vetores livres). A imagem tem dimensão 2 . Portanto:
6 = 4 + 2
O teorema está confirmado!
Passo 8
Por último, vamos determinar se T é bijetora. Um operador linear é bijetora se for injetora (núcleo trivial) e sobrejetora (imagem igual ao codomínio).
Injetora: O núcleo de T tem dimensão 4 , ou seja, contém mais elementos além do zero. Portanto, T não é injetora.
Sobrejetora: A imagem de T tem dimensão 2 , que é igual à dimensão do codomínio M2(R) . Então, T é sobrejetora.
Como T não é injetora, mesmo sendo sobrejetora, T não é bijetora.