Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o núcleo e a imagem, cheque o resultado do teorema do núcleo e da imagem e determine se é bijetora. , dado por .
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
e pede: bases de e de , checar e decidir se é bijetora.
Passo 2
Para encontrar resolvemos
Passo 3
Da primeira equação vem b=-a. Substituindo na terceira:
2a-(-a)=3a=0implies a=0implies b=0
Logo ker(T)=(0,0), que é subespaço trivial com dimker(T)=0. Uma base para esse núcleo é o conjunto vazio.
Passo 4
Para a imagem escrevemos
T(a,b)=a,(1,0,2)+b,(1,0,-1)
Assim
Im(T)=span(1,0,2),,(1,0,-1)
Como os dois vetores são linearmente independentes, dimIm(T)=2 e uma base é (1,0,2),,(1,0,-1).
Passo 5
Verificamos o teorema da dimensão:
dimker(T)+dimIm(T)=0+2=2=dimR^2
Passo 6
Como ker(T)=0, T é injetora. Porém dimIm(T)=2<3, logo não é sobrejetora em R^3. Portanto T não é bijetora.
Resposta
Base de ker(T): conjunto vazio (subespaço trivial).
Base de Im(T): (1,0,2),,(1,0,-1).
Checagem: dimker(T)+dimIm(T)=0+2=2. T é injetora mas não sobrejetora, logo não é bijetora.