Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o núcleo e a imagem, cheque o resultado do teorema do núcleo e da imagem e determine se T é bijetora.
T: R^2 R^3, dado por T(a, b)=(a+b, 0,2 a-b).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
Tcolon R^2toR^3, T(a,b)=(a+b,,0,,2a-b),
e pede: bases de ker(T) e de Im(T), checar
dimker(T)+dimIm(T)=dimR^2 e decidir se T é bijetora.

Passo 2

Para encontrar ker(T) resolvemos
T(a,b)=(0,0,0)iff a+b=0, 0=0, 2a-b=0

Passo 3

Da primeira equação vem b=-a. Substituindo na terceira:
2a-(-a)=3a=0implies a=0implies b=0
Logo ker(T)=(0,0), que é subespaço trivial com dimker(T)=0. Uma base para esse núcleo é o conjunto vazio.

Passo 4

Para a imagem escrevemos
T(a,b)=a,(1,0,2)+b,(1,0,-1)
Assim
Im(T)=span(1,0,2),,(1,0,-1)
Como os dois vetores são linearmente independentes, dimIm(T)=2 e uma base é (1,0,2),,(1,0,-1).

Passo 5

Verificamos o teorema da dimensão:
dimker(T)+dimIm(T)=0+2=2=dimR^2

Passo 6

Como ker(T)=0, T é injetora. Porém dimIm(T)=2<3, logo não é sobrejetora em R^3. Portanto T não é bijetora.

Resposta

Base de ker(T): conjunto vazio (subespaço trivial).
Base de Im(T): (1,0,2),,(1,0,-1).
Checagem: dimker(T)+dimIm(T)=0+2=2.
T é injetora mas não sobrejetora, logo não é bijetora.

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