Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
T: R^2 R^4 ; T(x, y)=(2 y, 3 x,-y, x+y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
Tcolon R^2toR^4, T(x,y)=(2y,,3x,,-y,,x+y)
é uma transformação linear. Para isso vamos usar as duas propriedades fundamentais de linearidade:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(lambda v)=lambda,T(v).

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam (x1,y1) e (x2,y2) em R^2. Então
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(2(y1+y2),;3(x1+x2),;-(y1+y2),;(x1+x2)+(y1+y2)r)
Por outro lado,
T(x1,y1)+T(x2,y2) = (2y1,3x1,-y1,x1+y1)+(2y2,3x2,-y2,x2+y2)
=(2y1+2y2,;3x1+3x2,;-y1-y2,;x1+y1+x2+y2)
Como cada componente coincide, T(u+v)=T(u)+T(v) vale.

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para lambdainR e (x,y)inR^2:
Tl(lambda(x,y)r) = T(lambda x,lambda y) = l(2(lambda y),;3(lambda x),;-(lambda y),;lambda x+lambda yr) = lambda,(2y,3x,-y,x+y) = lambda,T(x,y)
Logo a propriedade T(lambda v)=lambda,T(v) também se satisfaz.

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que ela é uma transformação linear.

Resposta

A função T é uma transformação linear.

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