Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o núcleo e a imagem, cheque o resultado do teorema do núcleo e da imagem e determine se T é bijetora.
T: P2(R) P3(R), dado por T(p(t))=t p(t)+p^prime(t).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um operador linear T que vai de P2(R) para P3(R) . Aqui, P2(R) é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, e P3(R) é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. O operador é definido por T(p(t)) = t cdot p(t) + p'(t) , onde p'(t) é a derivada de p(t) .
Vamos precisar entender:
  1. Núcleo de T: Conjunto de todos os polinômios p(t) tal que T(p(t)) = 0 .
  2. Imagem de T: Conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando T em algum p(t) de P2(R) .
  3. Teorema do Núcleo e Imagem: Afirma que a dimensão do domínio é igual à soma das dimensões do núcleo e da imagem.
  4. Bijetividade: Verificar se T é injetora (ninguém no núcleo além de 0) e sobrejetora (imagem igual ao contradomínio).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de [T). Queremos resolver , ou seja:
Vamos assumir que . Calculando :
Substituindo na equação:
Para que isso seja verdadeiro para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Da primeira equação, . Substituindo na terceira, .
Portanto, o único polinômio no núcleo é o polinômio zero.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem de T . A imagem consiste em todos os polinômios que podem ser escritos como T(p(t)) = t cdot p(t) + p'(t) , onde p(t) é qualquer polinômio em P2(R) .
Assumindo p(t) = a t^2 + b t + c , calculamos:
p'(t) = 2a t + b
T(p(t)) = t cdot (a t^2 + b t + c) + (2a t + b) = a t^3 + b t^2 + (c + 2a) t + b
Então, qualquer polinômio na imagem terá a forma:
a t^3 + b t^2 + (c + 2a) t + b
Para encontrar uma base da imagem, observamos os coeficientes independentes:
  • a : coeficiente de t^3
  • b : coeficiente de t^2 e de t^0
  • c : afeta o coeficiente de t
Podemos expressar a imagem como um espaço gerado por três polinômios lineares independentes:
Im(T) = span t^3 + 2 t, t^2 + 1, t
Portanto, uma base para a imagem é:
t^3 + 2 t, t^2 + 1, t

Passo 4

Vamos agora checar o teorema do núcleo e da imagem. Esse teorema diz que:
dim(Domínio) = dim(ker(T)) + dim(Im(T)) í
Sabemos que dim(P2(R)) = 3 (coeficientes de t^2, t, e constante).
Do Passo 2, vimos que ker(T) contém apenas o polinômio zero, então:
dim(ker(T)) = 0
Do Passo 3, encontramos que Im(T) tem uma base com 3 elementos, então:
dim(Im(T)) = 3
Verificando o teorema:
3 = 0 + 3 checkmark
Tudo confere!

Passo 5

Por último, vamos determinar se T é bijetora. Para isso, precisamos verificar se T é injetora e sobrejetora.
  • Injetora: Se o núcleo de T contém apenas o elemento zero, então T é injetora. No nosso caso, ker(T) = 0 , então T é injetora.
  • Sobrejetora: Se a imagem de T é igual ao contradomínio, ou seja, Im(T) = P3(R) , então T é sobrejetora. Porém, dim(Im(T)) = 3 e dim(P3(R)) = 4 , então a imagem não cobre todo P3(R) .
Como T é injetora, mas não sobrejetora, ele não é bijetora.

Resposta

Encontramos que:
  • Núcleo de T : Apenas o polinômio zero.
  • Imagem de T : Espaço gerado por t^3 + 2 t, t^2 + 1, t .
  • Teorema do núcleo e da imagem: Confirmado, pois 3 = 0 + 3 .
  • Bijetividade: T é injetora, mas não sobrejetora, então não é bijetora.

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