Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o núcleo e a imagem, cheque o resultado do teorema do núcleo e da imagem e determine se T é bijetora.
T: M2(R) R, dado por T(M)=tr M, onde tr M é o traço da matriz, ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente analisar o operador linear T: M2(R) R , que pega uma matriz 2x2 e retorna o seu traço (a soma dos elementos da diagonal principal). Vamos precisar entender os conceitos de núcleo (kernel) e imagem (imagem) de um operador linear, aplicar o teorema do núcleo e da imagem, e verificar se T é bijetora (ou seja, se é injetora e sobrejetora).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de T . O núcleo de T , denotado por ker(T) , é o conjunto de todas as matrizes M em M2(R) que satisfazem T(M) = 0 . Ou seja:
ker(T) = M in M2(R) mid tr(M) = 0
Vamos encontrar uma base para esse núcleo.

Passo 3

Vamos considerar uma matriz genérica M em M2(R) :
M = a & b c & d
O traço de M é tr(M) = a + d .
Para que M esteja no núcleo de T , precisamos que a + d = 0 . Então, d = -a .
Assim, uma matriz no núcleo de T tem a forma:
M = a & b c & -a
Podemos expressar isso como uma combinação linear:
M = a 1 & 0 0 & -1 + b 0 & 1 0 & 0 + c 0 & 0 1 & 0
Portanto, uma base para ker(T) é:
1 & 0 0 & -1 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem de T , que denotamos por Im(T) . A imagem de T é o conjunto de todos os valores que T pode assumir, ou seja:
Im(T) = T(M) mid M in M2(R)
Como T(M) = tr(M) = a + d , e a e d podem ser quaisquer números reais, a imagem de T é todo o conjunto dos números reais R .
Então, a imagem de T é R , e uma base para Im(T) é 1 porque qualquer número real pode ser obtido multiplicando 1 por esse número.

Passo 5

Vamos verificar agora o Teorema do Núcleo e da Imagem, também conhecido como Teorema da Dimensão. Esse teorema nos diz que:
dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(M2(R))
Sabemos que dim(M2(R)) = 4 porque uma matriz 2x2 tem 4 entradas independentes.
Já encontramos que dim(ker(T)) = 3 (três matrizes na base) e dim(Im(T)) = 1 .
Vamos somar:
3 + 1 = 4
Isso confirma que o Teorema do Núcleo e da Imagem está sendo satisfeito.

Passo 6

Finalmente, vamos determinar se T é bijetora. Um operador linear é bijetora se ele for injetora e sobrejetora.
  • Injetora: T é injetora se ker(T) = 0 . Mas vimos que dim(ker(T)) = 3 , então o núcleo de T não é trivial. Portanto, T não é injetora.
  • Sobrejetora: T é sobrejetora se Im(T) = R . Vimos que isso é verdade, então T é sobrejetora.
Como T não é injetora, mesmo sendo sobrejetora, ela não é bijetora.

Resposta

Base do núcleo de T :
1 & 0 0 & -1 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0
Base da imagem de T :
1
O Teorema do Núcleo e da Imagem está satisfeito, já que 3 + 1 = 4 .
O operador T não é bijetora.

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