Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o núcleo e a imagem, cheque o resultado do teorema do núcleo e da imagem e determine se é bijetora. , dado por , onde é o traço da matriz, ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente analisar o operador linear , que pega uma matriz 2x2 e retorna o seu traço (a soma dos elementos da diagonal principal). Vamos precisar entender os conceitos de núcleo (kernel) e imagem (imagem) de um operador linear, aplicar o teorema do núcleo e da imagem, e verificar se é bijetora (ou seja, se é injetora e sobrejetora).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de . O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todas as matrizes em que satisfazem . Ou seja:
Vamos encontrar uma base para esse núcleo.
Passo 3
Vamos considerar uma matriz genérica em :
O traço de é .
Para que esteja no núcleo de , precisamos que . Então, .
Assim, uma matriz no núcleo de tem a forma:
Podemos expressar isso como uma combinação linear:
Portanto, uma base para ker(T) é:
1 & 0 0 & -1 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem de T , que denotamos por Im(T) . A imagem de T é o conjunto de todos os valores que T pode assumir, ou seja:
Im(T) = T(M) mid M in M2(R)
Como T(M) = tr(M) = a + d , e a e d podem ser quaisquer números reais, a imagem de T é todo o conjunto dos números reais R .
Então, a imagem de T é R , e uma base para Im(T) é 1 porque qualquer número real pode ser obtido multiplicando 1 por esse número.
Passo 5
Vamos verificar agora o Teorema do Núcleo e da Imagem, também conhecido como Teorema da Dimensão. Esse teorema nos diz que:
dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(M2(R))
Sabemos que dim(M2(R)) = 4 porque uma matriz 2x2 tem 4 entradas independentes.
Já encontramos que dim(ker(T)) = 3 (três matrizes na base) e dim(Im(T)) = 1 .
Vamos somar:
3 + 1 = 4
Isso confirma que o Teorema do Núcleo e da Imagem está sendo satisfeito.
Passo 6
Finalmente, vamos determinar se T é bijetora. Um operador linear é bijetora se ele for injetora e sobrejetora.
Injetora: T é injetora se ker(T) = 0 . Mas vimos que dim(ker(T)) = 3 , então o núcleo de T não é trivial. Portanto, T não é injetora.
Sobrejetora: T é sobrejetora se Im(T) = R . Vimos que isso é verdade, então T é sobrejetora.
Como T não é injetora, mesmo sendo sobrejetora, ela não é bijetora.
Resposta
Base do núcleo de T :
1 & 0 0 & -1 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0
Base da imagem de T :
1
O Teorema do Núcleo e da Imagem está satisfeito, já que 3 + 1 = 4 .