Seja
o conjunto dos polinômios. Mostre que
dada por:
é injetora, mas não é sobrejetora.
Passo 1
O enunciado define o espaço
dos polinômios reais e o operador
Precisamos mostrar que
é injetora (ou seja,
) e que não é sobrejetora (existe polinômio em
que não é imagem de nenhum outro).
Passo 2
Para ver que
é injetora, examinamos seu núcleo:
Se
identicamente, então por diferenciação (Teorema Fundamental do Cálculo)
para todo
. Logo
é o polinômio zero. Concluímos que
, ou seja,
é injetora.
Passo 3
Para ver que
não é sobrejetora, basta notar que toda imagem
é um polinômio cujo termo constante é zero:
Mas existem polinômios em
cujo valor em
é diferente de zero, por exemplo
. Como não há
tal que
,
não está na imagem de
. Portanto
não é sobrejetora.