Seja P(R) o conjunto dos polinômios. Mostre que T: P(R) P(R) dada por:
T(p)=integral0^t p(s) d s
é injetora, mas não é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado define o espaço P(R) dos polinômios reais e o operador
Tcolon P(R)to P(R), T(p)(t)=integral0^tp(s),ds
Precisamos mostrar que T é injetora (ou seja, ker T=0) e que não é sobrejetora (existe polinômio em P(R) que não é imagem de nenhum outro).

Passo 2

Para ver que T é injetora, examinamos seu núcleo:
ker T=,pin P(R)mid T(p)(t)=0 para todo t
Se T(p)(t)=0 identicamente, então por diferenciação (Teorema Fundamental do Cálculo)
ddtT(p)(t)=p(t)=0
para todo t. Logo p é o polinômio zero. Concluímos que ker T=0, ou seja, T é injetora.

Passo 3

Para ver que T não é sobrejetora, basta notar que toda imagem T(p) é um polinômio cujo termo constante é zero:
T(p)(0)=integral0^0p(s),ds=0
Mas existem polinômios em P(R) cujo valor em t=0 é diferente de zero, por exemplo
q(t)=1. Como não há p tal que T(p)(0)=q(0)=1, q não está na imagem de T. Portanto T não é sobrejetora.

Resposta

T é injetora, mas não é sobrejetora.

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