Dadas as transformações lineares T: R^n R^m:
T(x, y, z)=(x+y, y+z).
(i) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão. T é injetora? Justifique.
(ii) Determinar a imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique.
(iii) Quais dos seguintes vetores (1,-1,1),(0,0,0),(-3,3,3) pertencem ao núcleo de T?

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear Tcolon R^3toR^2 dada por
T(x,y,z) = (x+y,;y+z)
Vamos usar os conceitos de núcleo ( ker(T)) e imagem ( Im(T)), encontrar bases e dimensões desses subespaços, aplicar o critério de injetividade ( ker(T)=0) e de sobrejetividade ( Im(T)=R^2), e por fim testar se certos vetores estão em ker(T).

Passo 2

Para achar
Da primeira equação vem . Portanto
logo
Uma base é e . Como , não é injetora.

Passo 3

Para determinar , observamos as imagens dos vetores canônicos:
Então
Uma base conveniente é e . Como , é sobrejetora.

Passo 4

Um vetor (x,y,z) pertence a ker(T) se x+y=0 e y+z=0. Calculamos:
T(1,-1,1)=(1-1,,-1+1)=(0,0), T(0,0,0)=(0,0), T(-3,3,3)=(-3+3,;3+3)=(0,6)neq(0,0)
Logo (1,-1,1) e (0,0,0) estão em ker(T), mas (-3,3,3) não.

Resposta

(i) ker(T)=y(-1,1,-1)mid yinR, base (-1,1,-1), dim(ker(T))=1. T não é injetora.
(ii) Im(T)=R^2, base (1,0),(0,1), dim(Im(T))=2. T é sobrejetora.
(iii) Pertencem ao núcleo: (1,-1,1) e (0,0,0). O vetor (-3,3,3) não pertence.

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