Dadas as transformações lineares
:
.
(i) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão.
é injetora? Justifique.
(ii) Determinar a imagem de
, uma base para este subespaço e sua dimensão.
é sobrejetora? Justifique.
(iii) Quais dos seguintes vetores
pertencem ao núcleo de
?
(i) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão.
(ii) Determinar a imagem de
(iii) Quais dos seguintes vetores
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
dada por
Vamos usar os conceitos de núcleo (
) e imagem (
), encontrar bases e dimensões desses subespaços, aplicar o critério de injetividade (
) e de sobrejetividade (
), e por fim testar se certos vetores estão em
.
Passo 2
Para achar
Da primeira equação vem . Portanto
logo
Uma base é
e
. Como
,
não é injetora.
Passo 3
Para determinar
, observamos as imagens dos vetores canônicos:
Então
Uma base conveniente é
e
. Como
,
é sobrejetora.
Passo 4
Um vetor
pertence a
se
e
. Calculamos:
Logo
e
estão em
, mas
não.
Resposta
(i)
, base
,
.
não é injetora.
(ii) , base
,
.
é sobrejetora.
(iii) Pertencem ao núcleo: e
. O vetor
não pertence.
(ii)
(iii) Pertencem ao núcleo: