Sejam f(x)=3 x-2 e g(x)=\frac{x}{x-1}. Encontre (g \circ f)(x) e determine seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Função f dada por f(x)=3x-2.
  • Função g dada por g(x)=\dfrac{x}{x-1}.
  • Pedidos:
    1. Encontrar (g\circ f)(x), isto é g(f(x)).
    2. Determinar o domínio de (g\circ f).

Passo 2

Hora de lembrar a definição e a regra de domínio para composição:
  • Definição: (g\circ f)(x)=g(f(x)). Isso significa que primeiro calcula-se f(x) e em seguida substitui-se esse resultado na expressão de g.
  • Regra de domínio: o domínio de g\circ f é o conjunto dos x tais que x está no domínio de f e, além disso, f(x) está no domínio de g. Em símbolos:
\mathrm{dom}(g\circ f)=\{x\in\mathrm{dom}(f)\mid f(x)\in\mathrm{dom}(g)\}.
  • Identificando domínios individuais:
    • Para f(x)=3x-2, não há divisão por zero nem raiz de índice par etc., então \mathrm{dom}(f)=\mathbb{R} (todos os reais).
    • Para g(x)=\dfrac{x}{x-1}, o denominador não pode ser zero, então é necessário x-1\neq0. Assim \mathrm{dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 3

Vamos calcular a composição seguindo a definição passo a passo.
  • Primeiro, escrevo g em termos de uma variável genérica u: g(u)=\dfrac{u}{u-1}.
  • Agora substituo u=f(x)=3x-2 em g(u):
(g\circ f)(x)=g(f(x))=\dfrac{\,f(x)\,}{\,f(x)-1\,}=\dfrac{3x-2}{(3x-2)-1}.
  • Simplifico o denominador:
(3x-2)-1=3x-3=3(x-1).
  • Portanto a expressão simplificada da composição é
(g\circ f)(x)=\dfrac{3x-2}{3x-3}=\dfrac{3x-2}{3(x-1)}.

Passo 4

Determinar o domínio de (g\circ f) aplicando a regra do Passo 2.
  • Como \mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}, a única restrição vem de exigir f(x)\in\mathrm{dom}(g), ou seja f(x)\neq1.
  • Resolvo f(x)=1 para achar quais x devem ser excluídos:
3x-2=1 \quad\Rightarrow\quad 3x=3 \quad\Rightarrow\quad x=1.
  • Logo f(1)=1, e 1\notin\mathrm{dom}(g), então x=1 deve ser excluído do domínio de g\circ f.
  • Conclusão: o domínio de (g\circ f) é \mathbb{R}\setminus\{1\}, que também pode ser escrito como (-\infty,1)\cup(1,\infty).
Observação importante (dica para prova): mesmo que a expressão algébrica possa ser aparentemente simplificada, nunca “devolva” pontos excluídos sem verificar a definição original. Aqui não há cancelamento que retire a restrição; em x=1 a expressão original tem denominador zero, então x=1 fica excluído.

Passo 5

Recapitulando de forma curta e prática para a prova:
  • Fazer g(f(x)) é só substituir f(x) na fórmula de g.
  • Depois verificar domínio: excluir qualquer x que torne o denominador (ou outra expressão inválida) zero na etapa final — equivalemente, excluir x tais que f(x) não pertence ao domínio de g.

Resposta

(g\circ f)(x)=\dfrac{3x-2}{3x-3}=\dfrac{3x-2}{3(x-1)}\n
\mathrm{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{1\} = (-\infty,1)\cup(1,\infty)

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