Sejam
e
. Encontre
e determine seu domínio.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Função
dada por . - Função
dada por . - Pedidos:
- Encontrar
, isto é . - Determinar o domínio de
.
- Encontrar
Passo 2
Hora de lembrar a definição e a regra de domínio para composição:
- Definição:
. Isso significa que primeiro calcula-se e em seguida substitui-se esse resultado na expressão de . - Regra de domínio: o domínio de
é o conjunto dos tais que está no domínio de e, além disso, está no domínio de . Em símbolos:
- Identificando domínios individuais:
- Para
, não há divisão por zero nem raiz de índice par etc., então (todos os reais). - Para
, o denominador não pode ser zero, então é necessário . Assim .
- Para
Passo 3
Vamos calcular a composição seguindo a definição passo a passo.
- Primeiro, escrevo
em termos de uma variável genérica : . - Agora substituo
em :
- Simplifico o denominador:
- Portanto a expressão simplificada da composição é
Passo 4
Determinar o domínio de
aplicando a regra do Passo 2.
- Como
, a única restrição vem de exigir , ou seja . - Resolvo
para achar quais devem ser excluídos:
- Logo
, e , então deve ser excluído do domínio de . - Conclusão: o domínio de
é , que também pode ser escrito como .
Observação importante (dica para prova): mesmo que a expressão algébrica possa ser aparentemente simplificada, nunca “devolva” pontos excluídos sem verificar a definição original. Aqui não há cancelamento que retire a restrição; em
a expressão original tem denominador zero, então
fica excluído.
Passo 5
Recapitulando de forma curta e prática para a prova:
- Fazer
é só substituir na fórmula de . - Depois verificar domínio: excluir qualquer
que torne o denominador (ou outra expressão inválida) zero na etapa final — equivalemente, excluir tais que não pertence ao domínio de .