Para cada par de funções f(x) e g(x), determine as seguintes composições:
i. (f \circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g \circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f \circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g \circ g)(x)=g(g(x))
Sendo:
f(x)=\cos (x), g(x)=x+\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede que, dadas as funções f(x)=\cos(x) e g(x)=x+\dfrac{\pi}{2}, eu determine as quatro composições:
i. (f\circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g\circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f\circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g\circ g)(x)=g(g(x))
Informações fornecidas:
  • f(x)=\cos(x).
  • g(x)=x+\dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

O que é compor funções (uma mini-aula): compor f com g significa substituir a variável x da função f pela expressão g(x). Em notação:
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
Ou seja, calcular f do valor que g dá em x. O mesmo vale para as outras composições: sempre substituir a expressão interna na função externa. Vou aplicar isso passo a passo para cada item.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)).
Começo substituindo g(x) dentro de f:
(f\circ g)(x)=\cos\big(g(x)\big)=\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right).
Agora uso a identidade trigonométrica para soma de ângulos:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Aplicando com a=x e b=\dfrac{\pi}{2}:
\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\sin x\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right).
Como \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, isso fica
\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=0\cdot\cos x - 1\cdot\sin x = -\sin x.
Portanto
(f\circ g)(x)=-\sin x.

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)).
Substituo f(x)=\cos x dentro de g:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=\big(\cos x\big)+\dfrac{\pi}{2}.
Não há identidade trigonométrica que simplifique \cos x+\dfrac{\pi}{2} para uma forma trigonométrica mais simples, então esta é a forma final:
(g\circ f)(x)=\cos x+\dfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)).
Aqui é a composição da função consigo mesma: substituo f(x)=\cos x dentro de f:
(f\circ f)(x)=\cos\big(\cos x\big).
Essa expressão é normalmente deixada como \cos(\cos x). Observação útil: como \cos x\in[-1,1] para todo x\in\mathbb{R}, a entrada de fora está entre -1 e 1, então \cos(\cos x) está bem definida para todo x e toma valores entre \cos 1 e 1 (aproximadamente entre 0{,}5403 e 1).

Passo 6

Calcular (g\circ g)(x)=g(g(x)).
Substituo g(x)=x+\dfrac{\pi}{2} dentro de g:
(g\circ g)(x)=g\big(g(x)\big)=\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+\dfrac{\pi}{2}.
Somando os termos constantes:
(g\circ g)(x)=x+\pi.

Passo 7

Pequena checagem numérica (só para ganhar confiança): em x=0,
(f\circ g)(0)=-\sin 0=0,\qquad (g\circ f)(0)=\cos 0+\dfrac{\pi}{2}=1+\dfrac{\pi}{2},
(f\circ f)(0)=\cos(\cos 0)=\cos 1,\qquad (g\circ g)(0)=0+\pi=\pi.
Tudo consistente com as fórmulas obtidas.

Resposta

(f\circ g)(x)=-\sin x
(g\circ f)(x)=\cos x+\dfrac{\pi}{2}
(f\circ f)(x)=\cos(\cos x)
(g\circ g)(x)=x+\pi

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