Para cada par de funções
e
, determine as seguintes composições:
i.
ii.
iii.
iv.
Sendo:
i.
ii.
iii.
iv.
Passo 1
O enunciado pede que, dadas as funções
e
, eu determine as quatro composições:
i.
ii.
iii.
iv.
i.
ii.
iii.
iv.
Informações fornecidas:
-
. -
.
Passo 2
O que é compor funções (uma mini-aula): compor
com
significa substituir a variável
da função
pela expressão
. Em notação:
Ou seja, calcular
do valor que
dá em
. O mesmo vale para as outras composições: sempre substituir a expressão interna na função externa. Vou aplicar isso passo a passo para cada item.
Passo 3
Calcular
.
Começo substituindo
dentro de
:
Agora uso a identidade trigonométrica para soma de ângulos:
Aplicando com
e
:
Como
e
, isso fica
Portanto
Passo 4
Calcular
.
Substituo
dentro de
:
Não há identidade trigonométrica que simplifique
para uma forma trigonométrica mais simples, então esta é a forma final:
Passo 5
Calcular
.
Aqui é a composição da função consigo mesma: substituo
dentro de
:
Essa expressão é normalmente deixada como
. Observação útil: como
para todo
, a entrada de fora está entre
e
, então
está bem definida para todo
e toma valores entre
e
(aproximadamente entre
e
).
Passo 6
Calcular
.
Substituo
dentro de
:
Somando os termos constantes:
Passo 7
Pequena checagem numérica (só para ganhar confiança): em
,
Tudo consistente com as fórmulas obtidas.